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Lösung zur Teilaufgabe B 2.1
Schrägbild zeichnen
- Du zeichnest die Strecke als waagrechte Strecke mit der Länge cm (rote Linie), weil laut Aufgabenstellung auf der Schrägbildachse liegen soll.
- Der Punkt liegt senkrecht über dem Punkt , das heißt du kannst die Strecke mit der Länge cm senkrecht zu der Strecke einzeichnen (rote Linie).
- Du weißt, dass der Mittelpunkt der Basis ist, damit ist die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks und steht senkrecht auf . Wie du in der Angabe lesen kannst, ist , weswegen der jeweils rechte Winkel zwischen und in der Zeichnung jeweils mit dargestellt werden. Ebenfalls aus der Angabe entnimmst du, dass . Deswegen hat die Strecke , die cm lang war, in der Abbildung nur noch die halbe Länge . Diese Länge cm teilst du auf in zweimal cm jeweils oberhalb und unterhalb von als Mittelpunkt auf. Du zeichnest also eine Strecke mit cm Länge im Winkel zu mit als Mittelpunkt (orange Linie).
- Nun hast du alle Eckpunkte und kannst die noch fehlenden Pyramidenkanten ergänzen. Dazu verbindest du einfach mit jeweils und , sowie mit den drei Dreieckseckpunkten , und (türkise Linien).
Länge der Strecke
Wie du in der Zeichnung des Schrägbildes erkennen kannst, ist das Dreieck rechtwinklig. Du kennst die Längen der Strecken und . Also kannst du den Satz des Pythagoras verwenden, um die Länge von auszurechnen.
ist die Hypotenuse, also lautet der Satz des Pythagoras:
Löse nach der gesuchten Größe auf, indem du die Wurzel ziehst.
Setze die Werte ein, tippe die Rechnung in den Taschenrechner und runde das Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma.
Größe des Winkels
Du suchst den Winkel , der in der Abbildung rechts türkis markiert ist. Wie du erkennen kannst, handelt es sich um einen Winkel in dem rechtwinkligen Dreieck . Du kannst deswegen die Formeln für Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck verwenden.
Falls du zuerst ausgerechnet hast, kannst du dir eine der drei Formeln aussuchen. Falls nicht, musst du den Tangens verwenden, weil du nur die Länge der Gegenkathete und der Ankathete kennst. Hier wird beispielhaft mit Tangens gerechnet.
Stelle als Erstes die allgemeine Tangens-Formel auf:
Setze die Werte ein, tippe die Rechnung in den Taschenrechner und runde das Ergebnis auf zwei Stellen.
Die Größe des Winkels ist .
Lösung zur Teilaufgabe B 2.2
Um die Pyramide zu zeichnen, ermittelst du als Erstes den Punkt , indem du den Winkel an anträgst (grüner Winkel) und den Winkelschenkel bis zur Strecke einzeichnest (rote Linie).
Nun kannst du die Pyramidenspitze mit allen Dreieckseckpunkten , und verbinden, sowie diese untereinander (lila Linie).
Lösung zur Teilaufgabe B 2.3
Länge der Strecken
Um diese Länge auszurechnen, verwendest du den Sinussatz. Überlege dir zuerst, welche Größen du gegeben hast, um den passenden Ansatz auszuwählen.
geg: , ,
ges:
Jetzt kannst du jeweils passende Strecke und Winkel auswählen, wie du sie für den Sinussatz benötigst.
Zu der gesuchten Strecke gehört der gegenüberliegende Winkel . Zu der bekannten Strecke gehört der gegenüberliegende Winkel . Der Winkel ist dir zwar nicht direkt bekannt, aber du kannst ihn ausrechnen: Du kennst die anderen beiden Winkel und weißt die Innenwinkelsumme im Dreieck.
Jetzt kannst du den Sinussatz aufstellen. Wie du im nächsten Schritt siehst, ist es praktisch das Ergebnis nicht weiter zu vereinfachen.
, das heißt, du kannst die weglassen.
Umformung: \cdot \sin(\varphi)
Löse nach auf, indem du mit multiplizierst.
Setze den bekannten Wert für ein.
Es ist also .
Volumen der Pyramiden
Das Volumen einer Pyramide berechnest du mit der Formel .
Deine Grundfläche ist das Dreieck und deine Höhe die Strecke , da nach Aufgabenteil 2.0 senkrecht über liegt.
hat die Hälfte der Länge von , da der Mittelpunkt von ist. hat also die Länge cm.
Bei der Grundfläche handelt es sich um ein Dreieck. Um dessen Flächeninhalt ausrechnen zu können, benötigst du eine Grundlinie und eine darauf senkrecht stehende Höhe. Für die Grundlinie bietet sich die Strecke (orange Linie) an, da du ihre Länge vorher schon berechnet hast.
Höhe des Dreiecks
Die Höhe (rote Linie) kannst du über das rechtwinklige Dreieck (grüner Winkel) berechnen. Du kennst die Länge von (türkise Linie) und den Winkel (lila Winkel).
ist die Hypotenuse und die gesuchte Strecke ist zu Gegenkathete. Das heißt, du kannst den Sinus verwenden.
Umformung: \cdot \overline{AM}
Setze die Werte ein.
Verwende aber am besten den nicht gerundeten Ausdruck, um ein möglichst genaues Ergebnis zu erhalten.
Flächeninhalt des Dreiecks
Dazu kennst du jetzt alle benötigten Größen und kannst diese in die Formel einsetzen:
Du kannst entweder an dieser Stelle das Ergebnis weiter mit dem Taschenrechner zusammenfassen, oder du machst dies im nächsten Schritt. Dies hat den Vorteil, dass du dadurch ein genaueres Ergebnis erhältst.
Volumen der Pyramide
Jetzt kennst du alle Größen, die du benötigst, um das Volumen in Abhängigkeit von auszurechnen. Setze dazu in die Formel vom Anfang ein:
Berechne die Multiplikation aller Zahlen mit dem Taschenrechner.
ist das Volumen der Pyramide.
Lösung zur Teilaufgabe B 2.4
Du rechnest als Erstes die Volumina der kleinen und großen Pyramide aus, die Reihenfolge ist dabei egal. Anschließend musst du den prozentualen Anteil der kleinen Pyramide an der großen Pyramide ausrechnen.
Volumen kleine Pyramide
Du hast in der Teilaufgabe vorher bereits eine Formel für das Volumen der kleinen Pyramide in Abhängigkeit von ermittelt. Also benötigst du für die Berechnung des kleinen Volumens den Winkel , wenn das Dreieck rechtwinklig ist.
Größe
Die Größe von kannst du über die Innenwinkelsumme im rechtwinkligen Dreieck berechnen, weil du die anderen beiden Winkel und (siehe Angabe) kennst:
Nun kannst du in die Volumenformel aus der Teilaufgabe 2.3 einsetzen:
Volumen große Pyramide
Das Volumen der großen Pyramide ermittelst du mit Hilfe der allgemeinen Formel für Pyramiden:
Die Grundfläche ist hier das gleichschenklige Dreieck . Die Fläche von kannst du nicht direkt berechnen. Aber du kannst es für die Flächenberechnung in zwei kleine kongruente, rechtwinklige Dreiecke und aufteilen. Denke daran, dass kongruente Dreiecke den gleichen Flächeninhalt besitzen.
Nun berechnest du mit der Formel für Flächeninhalte für rechtwinklige Dreiecke.
Setze die Werte für die Streckenlängen ein.
Jetzt kannst du Dreiecksfläche in die Volumenformel für Pyramiden einsetzen. Die Grundfläche ist die Dreiecksfläche und die Höhe ist die Strecke cm.
Prozentualer Anteil
Du willst den Anteil der kleinen Pyramide an der großen Pyramide wissen. Das heißt, du suchst den Prozentsatz. Dabei ist die große Pyramide dein Grundwert und die kleine Pyramide dein Prozentwert. Verwende daher die Prozentformel:
Umformung: : \text{Grundwert}
Setze die Werte ein. Runde das Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma.
Der Anteil der kleinen Pyramide an der großen beträgt .
Lösung zur Teilaufgabe B 2.5
Das Dreieck ist gleichschenklig mit Basis . Also sind die Strecken und gleich lang.
Damit kannst du die Länge von bestimmen, indem du das rechtwinklige Dreieck betrachtest und mit Hilfe von Pythagoras die Länge von berechnest.
Anschließend kannst du die Formel aus Teilaufgabe 2.3 verwenden und nach umstellen.
Länge von
Setze die Werte ein.
Größe von
Setze in die Formel aus 2.3 ein.
Verwende das Additionstheorem, um den Sinus auf der linken Seite umzuformen.
Klammer ausmulitplizieren
Umformung: :\cos\varphi
Bringe alle auf eine Seite.
Klammere aus.
Umformung: : (9-10,82\cos(48,01°))
Löse nach auf.
Löse nach auf und tippe den Term in den Taschenrechner ein.
Lösung zur Teilaufgabe B 2.6
Wenn die maximale Größe hat, dann hat die Pyramide die gleiche Höhe wie die große Pyramide. Die Grundfläche ist aber nur halb so groß wie bei der ursprünglichen Pyramide, weil das Dreieck halbiert.
Das Volumen der Pyramide kann demnach auch maximal halb so groß sein, weil der Faktor ändert sich nicht, die Grundfläche wird halbiert (von zu ) und die Höhe ist maximal genauso groß ().
Das halbe Volumen sind .
Deshalb ist das Volumen maximal groß.
Alternativlösung
Wir können die Pyramide auch als Pyramide mit der Grundfläche auffassen. Dann sieht man in der Zeichnung von Teilaufgabe 2.3 sehr gut, dass das Volumen der Pyramide zunimmt, wenn größer ist. Das heißt, dass das größte Volumen der Pyramide dann erreicht ist, wenn gleich ist (dann hat den Wert ).
Dann gilt für das Volumen von :
Von der vorherigen Teilaufgabe weißt du: . Dies setzt du in die Formel ein.
Das Volumen der großen Pyramide aus Teilaufgabe 2.4 ist .
Wenn du die Formeln von mit vergleichst, stellst du fest, dass
.
Insgesamt erhältst du also .