Der Sinus- und der Kosinussatz stellen Beziehungen zwischen Seitenlängen und Winkeln in beliebigen Dreiecken her.
Für ein beliebiges Dreieck mit den Seiten , , und den jeweils gegenüberliegenden Winkeln , , gilt:
Sinussatz
Kosinussatz
Wenn du den Winkel berechnen willst, musst du nach den Kosinuswerten umformen:
- , und
- , und
- , und
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Wir rechnen die Formel für nach:
Beginne mit dem Kosinussatz:
Umformung: +2bc\cos(\alpha)-a^2
Bringe den Term mit nach links und nach rechts.
Umformung: :2bc
teile durch den Vorfaktor von
Die Formel für erhältst du durch Anwendung von , der Umkehrfunktion des Kosinus, auf beide Seiten.
Alternative Formulierung des Sinussatzes
Durch Umformungen kann man den Sinussatz auch auf folgende Formen bringen:
Man kann nach den einzelnen Größen auflösen:
Auflösung nach den Winkeln:
Der Satz des Pythagoras als Spezialfall des Kosinussatzes
Für erhält man ein rechtwinkliges Dreieck und es gilt . Damit ist der Satz des Pythagoras ein Spezialfall des Kosinussatzes.
Beispiel
Im Dreieck seien die Werte , , und damit auch gegeben.
Berechne zuerst mithilfe des Sinussatzes die Länge der Seite :
Setze die bekannten Werte ein.
Löse nach auf.
Berechne nun mithilfe des Kosinussatzes die Länge der Seite :
Setze die Werte ein.
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Eingebetteter Serlo-Inhalt
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