Hinweis
Schätzt man nicht nur für einzelne Punkte des Graphen einer differenzierbaren Funktion die Steigungswerte , sondern für jeden Wert des Definitionsbereichs, so bildet die Funktion die Ableitungsfunktion von und man sagt, wurde graphisch differenziert.
Beispiel:
Arbeitsschritte zum graphischen Differenzieren:
- Schätze den Neigungswinkel einer Tangente. Z.B. in
- Ergebnis hier:
- Vom Taschenrechner ablesen:
- im Koordinatensystem einzeichnen.
- Arbeitsschritte 1-4 für beliebige weitere Punkte wiederholen.
- Kontrollen beachten: Punkte von mit waagrechter Tangente ergeben für Nullstellen. Für Bereiche, in denen fallend ist, sind die Funktionswerte von negativ. Für Bereiche, in denen steigend ist, liegt der Graph von oberhalb der x-Achse.
Graphisches Differenzieren einer linearen Funktion
Die lineare Funktion soll graphisch differenziert werden.
Betrachte die gegebenen Graphen und entscheide, was zutrifft.
Graphisches Differenzieren einer ganzrationalen Funktion 2. Grades
Die quadratische Funktion p soll graphisch differenziert werden.
Entscheide, welche der beiden Funktionen oder die Ableitungsfunktion von p ist.
Graphisches Differenzieren einer ganzrationalen Funktion höheren Grades
Hinweise
Jede ganzrationale Funktion n-ten Grades mit dem [Definitionsbereich]() ist an allen Stellen differenzierbar. Der Graph ist eine zusammenhängende Linie mit einem formmäßig ansprechenden Steigungs- und Krümmungsverhalten. Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades hat höchstens n Nullstellen, höchstens n-1 Extremwertstellen und höchstens n-2 Wendepunkte. Diese Sonderstellen bestimmen den graphischen Verlauf. Die Ableitungsfunktion einer ganzrationalen Funktion n-ten Grades ist ebenfalls eine ganzrationale Funktion. Mit dem niederen Grad n-1. Die angenehmen graphischen Eigenschaften einer ganzrationalen Funktion übertragen sich in passender Weise auf ihre Ableitungsfunktion.
Beispiel:
Arbeitsschritte zum Anfertigen einer Skizze des Ableitungsgraphen:
- Die Hoch- und Tiefpunkte von f bestimmen (waagrechte Tangenten!) die Nullstellen der Ableitungsfunktion.
- Die Wendepukte von f bestimmen die Hoch- und Tiefpunkte der Ableitungsfunktion.
- Zwischen zwei Wendepunkten von f ist die Ableitungsfunktion entweder steigend oder fallend.
- Punkte von f mit rechtsgeneigten Tangenten ergeben positive y-Werte bei f'. Linksgeneigte Tangenten negative y-Werte bei f'.
- Für gilt
Da bei Aufgaben zum graphischen Differenzieren der Funktionsterm von f in der Regel nicht bekannt ist, kann (über das Schätzen der Tangentenneigungen) die Ableitungsfunktion immer nur als mehr oder weniger genaue Skizze graphisch gezeichnet werden.
Fertige durch graphisches Differenzieren eine Skizze der Ableitungsfunktion der nachfolgenden ganzrationalen Funktion 4. Grades.
Lösung anzeigen
Lösungsschritte:
- x(A), x(C) und x(E) liefern die einzigen (!) Nullstellen von f'.
- Links von A sind die Tangenten von f linksgeneigt. Also gilt:
- B ist Wendepunkt von f und liefert mit seiner Tangentenneigung (Schätzwert 76°) das lokale Maximum von f' mit .
- Auch D ist Wendepunkt von f und liefert mit seiner Tangentenneigung (Schätzwert 115°) das lokale Minimum von f' mit
- Zwischen den Wendepunkten B und D ist f' fallend.
- Rechts von E sind die Tangenten von f zunehmend rechtsgeneigt. Also gilt: .
Graphisches Differenzieren der e-Funktion
Die e-Funktion ist für viele Anwendungsgebiete der Mathematik eine der wichtigsten Funktionen.
Graphisch gesehen ist sie aber eher eine besonders "langweilige" Funktion: ohne Nullstellen, ohne lokale Extrema und ohne Wendepunkte - einfach nur steigend.
Welche überraschende Besonderheit der e-Funktion entdeckst du aber, wenn du dich um eine möglichst genaue Skizze beim graphischen Differenzieren der e-Funktion bemühst?
Lösung anzeigen
Allgemeine Aussagen über die Ableitungsfunktion
Begründung
. D.h. hat keine Nullstelle.
Der Graph von hat keine waagrechte Tangente.
. D.h. hat nur positive Funktionswerte.
Alle Tangenten von sind rechtsgeneigt. D.h. sie haben positive Steigung.
ist eine steigende Funktion.
Die Tangentenneigungen von nehmen mit wachsendem x-Wert zu.
Durchführung des graphischen Differenzierens
Lösungsschritte zum graphischen Differenzieren der -Funktion
- Wähle einen beliebigen Punkt auf dem Graphen von .
- Lege in "gefühlsmäßig" die Tangente an den Graphen von .
- Schätze den Neigungswinkel der Tangente.
- Lies am Taschenrechner ab.
- Trage den Punkt ein.
- Wenn du gut geschätzt hast, sollten und zusammenfallen, da im Idealfall gilt: .
- Überprüfe das Ergebnis aus den Schritten 1-6 an weiteren Punkten. Zum Beispiel an den Punkten A, B und C.
Endergebnis:
Die -Funktion stimmt mit ihrer Ableitungsfunktion überein. Die Graphen beider Funktionen fallen zusammen.
Klicke im anschließenden Applet auf den Punkt P der -Funktion und verschiebe ihn. Überzeuge dich, dass für jeden Punkt P gilt .
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Graphisches Differenzieren einer abschnittsweise definierten Funktion
Die folgende Funktion ist graphisch zu differenzieren.
Klicke die richtige Lösung an!
Lösung anzeigen
Die Funktion setzt sich aus zwei verschobenen, nach unten geöffneten Normalparabeln zusammen. Ihre Ableitung besteht demnach aus zwei zueinander parallelen Strecken mit der Steigung -2 und den Nullstellen und .
ist an jeder Stelle stetig, an der Stelle aber nicht differenzierbar, da dort linksseitige und rechtsseitige Steigung nicht übereinstimmen.
