Das Gegenereignis zu einem Ereignis enthält alle Versuchsausgänge, die in nicht enthalten sind.
Beim Werfen eines Würfels wäre das Gegenereignis zu (Augenzahl höchstens ).
Das Gegenereignis allgemein
In unserem Beispiel war das Gegenereignis zu . Beide zusammen bilden den Ergebnisraum:
Allgemein ist das Gegenereignis immer die Teilmenge von , die keine Elemente mit gemeinsam hat. Damit bilden und zusammen immer :
Warum gilt diese Formel für die Wahrscheinlichkeit?
Ausgehend von der Tatsache, dass , betrachtet man die Wahrscheinlichkeiten dieser Mengen bzw. Ereignisse.
Wenn die Mengen bzw. Ereignisse auf beiden Seiten gleich sind, dann auch die Wahrscheinlichkeit.
Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendetwas passiert ist , also .
Umformung: -P\left(A\right)
Beispiele zum Rechnen mit dem Gegenereignis
Beispiel 1
Zufallsexperiment: Ein Würfel wird einmal geworfen.
Ergebnisraum
Ereignis | Der Würfel zeigt die Zahlen 1, 2, 3 oder 4, also |
|---|---|
Wahrscheinlichkeit von | |
Gegenereignis | Der Würfel zeigt die Zahlen 5 oder 6, also |
Gegenwahrscheinlichkeit von |
Beispiel 2
Zufallsexperiment: Ein Würfel wird zweimal geworfen. Man betrachtet die Summe der Augenzahlen der beiden Würfel.
Ergebnisraum
Ereignis | Die Augensumme beträgt , also |
|---|---|
Wahrscheinlichkeit von | |
Gegenereignis | Die Würfelsumme ist nicht , also |
Gegenwahrscheinlichkeit von |
