Für eine ganzrationale Funktion dritten Grades mit der Definitionsmenge gelten folgende Gleichungen: I. II. III. IV.
Der zugehörige Graph in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit bezeichnet.
Beschreiben Sie in Worten, welche Eigenschaften der Graph von f aufgrund obiger Gleichungen hat. (2 BE)
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- Setzt man in f ein, bekommt man Funktionswerte.
- Setzt man in die erste Ableitung ein, so bekommt man Steigungen.
Der Graph verläuft also durch , den Ursprung des Koordinatensystems.
Die Steigung im Ursprung ist 0.
Insgesamt: Im Ursprung ist also eine Stelle mit waagerechter Tangente (Extrempunkt oder Terrassenpunkt)
Der Graph verläuft durch den Punkt .
Der Graph hat also im Punkt die Steigung .
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von .
[Mögliches Ergebnis: ] (5 BE)
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- Stelle einen allgemeinen Funktionsterm für auf und bilde die erste Ableitung .
- Setze die Werte der Bedingungsgleichungen in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
- Löse das entstandene Gleichungssystem.
allgemeiner Funktionsterm
Da es sich um eine ganzrationale Funktion vom Grad 3 ist und du nichts über die Symmetrie des zugehörigen Graphen weißt, ist der allgemeine Funtkionsterm:
Die Ableitungsfunktion ist somit:
Bedingungsgleichungen
Setze die Werte aus der Aufgabenstellung ein:
Verwende und direkt in den nächsten Bedingungsgleichungen:
und
Gleichungssystem lösen
Löse das System zum Beispiel mit dem Additionsverfahren:
Setze in eine der beiden Gleichungen ein, um zu berechnen.
Umformung: -8
Umformung: :27
Insgesamt ist der Term also, wie im Teilergebnis vorgegeben:
Im Folgenden wird die Funktion mit und der im Vergleich zu eingeschränkten Definitionsmenge betrachtet. Ihr Graph in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit bezeichnet.
Ermitteln Sie die Wertemenge der Funktion . Bestimmen Sie dazu die Koordinaten sämtlicher Extrempunkte. (8 BE)
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Die Art der Extremstellen ist nicht verlangt!
- Bestimme die Koordinaten der Randextrempunkte an beiden Rändern von durch Einsetzen in .
- Bestimme die übrigen Extremstellen im Definitionsbereich:Bilde die 1. Ableitung .Bestimme die Nullstellen von und entscheide mithilfe der Vielfachheit, ob es sich um Extremstellen handelt.Bestimme die zugehörigen Funktionswerte.
- Betrachte alle berechneten y-Koordinaten, um die Wertemenge anzugeben.
Randextrempunkte
Da beide Ränder der Definitionsmenge eingeschlossen sind, gibt es zwei Randextrempunkte:
und
Bestimme die Funktionswerte durch einsetzen:
Weitere Extrempunkte
Bestimme mithilfe der Nullstellen der 1. Ableitung die übrigen Extrempunkte:
und somit
Klammere aus.
Nach dem Satz vom Nullprodukt gibt es die beiden Nullstellen und .
Bei ist eine Extremstelle von , da es eine einfache Nullstelle von ist und dort somit ein Vorzeichenwechsel stattfindet.
Es ist und
Der Hochpunkt liegt bei , da aus der Aufgabenstellung bekannt ist, dass der Graph durch den Ursprung verläuft.
Für ist
Der Tiefpunkt hat die Koordinaten .
Wertemenge
Die beiden Extrempunkte und bestimmen die Wertemenge. Verwende dazu den kleinsten und größten y-Wert:
Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunktes des Graphen der Funktion .
(3 BE)
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- Bestimme die Nullstelle der 2. Ableitung und zeige, dass der Graph dort einen Vorzeichenwechsel hat.
- Bestimme den zugehörigen Funktionswert.
Leite die Ableitungsfunktion erneut ab:
Bestimme die Nullstelle von :
Umformung: +\frac{8}{3}
Umformung: :\left(-2\right)
Der Wert liegt in der Definitionsmenge.
Da es sich um eine einfache Nullstelle handelt, hat dort einen Vorzeichenwechsel und es ist tatsächlich eine Wendestelle von .
Durch Einsetzen in erhältst du den zugehörigen Funktionswert:
Der Wendepunkt liegt also bei
Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse den Graphen in ein geeignetes kartesisches Koordinatensystem. Ermitteln Sie dazu die Nullstellen der Funktion . Maßstab für beide Achsen: (5 BE)
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- Bestimme zuerst die Nullstellen.
- Zeichne anschließend die Funktion:Beachte die Definitionsmenge und zeichne nicht über die Grenzen hinaus.Erstelle eine Wertetabelle im Taschenrechner und zeichne einen Punkt pro Kästchen ein.Beschrifte die Achsen und den Graphen.
Nullstellen bestimmen
Klammere aus.
Laut dem Satz vom Nullprodukt gibt es zwei Nullstellen: die doppelte Nullstelle und die einfache Nullstelle . Beide liegen im Definitionsbereich.
Graph zeichnen
Du darfst nicht über die Grenzen des Definitionsbereichs hinweg zeichnen. Für ein ordentliches Ergebnis solltest du bei der Wertetabelle die Schrittweite 0,5 wählen.
Der Graph der Funktion und die x-Achse schließen im III. Quadranten des Koordinatensystems ein endliches Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks. (3 BE)
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- Markiere das Flächenstück in der Zeichnung und ermittle so die Grenzen des Integrals.
- Berechne den Wert des bestimmten Integrals.
Gesucht ist der Flächeninhalt des Flächenstücks im III. Quadranten. Das ist die Teilfläche, die durch und begrenzt wird.
Mit dem bestimmten Integral kannst du den Flächeninhalt bestimmen:
Bilde eine Stammfunktion
Setze die Grenzen ein und subtrahiere.
Da das markierte Flächenstück komplett unterhalb der x-Achse liegt, entspricht der Betrag des bestimmten Integrals dem Flächeninhalt, also: