Punkte liegen auf der Geraden mit der Gleichung mit . Sie sind zusammen mit dem Punkt sowie Punkten und für Eckpunkte von Drachenvierecken mit den Diagonalenschnittpunkten .
Die Diagonalen der Drachenvierecke liegen auf der Symmetrieachse mit der Gleichung . Es gilt: .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichnen Sie die Geraden und sowie die Drachenvierecke für und für in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit ;
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Lösung zur Teilaufgabe a
Gehe beim Zeichnen der Drachenvierecke wie folgt vor:
- Zeichne zunächst die beiden Geraden und ein.
- Trage den Punkt (bzw. ) auf der Gerade an.
- Da das Drachenviereck symmetrisch zur Gerade h ist, findest du (bzw. ), indem du (bzw. ), an spiegelst.
- Der Schnittpunkt der Strecke (bzw. ) mit der Geraden ist (bzw. ).
- Da (bzw. ) ebenfalls auf der Spiegelachse liegt und (bzw. ), kannst du nun auch (bzw. ) als Vierfaches der Streckenlänge (bzw. ) auf eintragen.
Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten der Punkte in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte .
Ergebnis:
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Lösung zur Teilaufgabe b
Den Punkt erhältst du, wenn du die Gerade g, bzw. ihre Punkte an der Ursprungsgerade h spiegelst. Hier nutzt du erneut aus, dass die Drachenvierecke achsensymmetrisch sind.
1. Schritt: Berechne den Winkel , den die Gerade h mit der x-Achse einschließt
Nutze hierzu den Zusammenhang .
Umformung: \tan^{-1}
Forme nach um:
2. Schritt: Abbildungsgleichung aufstellen
Verwende die Abbildungsgleichung der Drehung.
Setze den Punkt und den Winkel in die Abbildungsgleichung ein:
Berechne die Werte von Sinus und Kosinus.
Führe die Matrix-Vektor-Multiplikation durch. Beachte, dass du weiterhin auf zwei Nachkommastellen runden darfst.
Fasse zusammen.
Der Punkt liegt auf der y-Achse.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes .
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Lösung zur Teilaufgabe c
Damit der Punkt auf der y-Achse liegt, muss die x-Koordinate 0 sein.
Berechne so die Abszisse x von :
Setze diese Abszisse in g ein:
Berechnen Sie die Koordinate der Punkte und in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte .
Ergebnis:
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Lösung zur Teilaufgabe d
1. Schritt: Koordinaten von
Die Punkte liegen in der Mitte von und :
Berechne die Mitte dieser Punkte:
2. Schritt: Koordinaten von
Verwende die Eigenschaften aus der Angabe:
Da der Ursprung des Koordinatensystems ist, entsprechen und den Koordinaten von und .
Setze ein:
Verwende die skalare Multiplikation, um so weit wie möglich zusammenzufassen.
Das Drachenviereck ist bei rechtwinklig.
Berechnen Sie den zugehörigen Wert für .
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Lösung zur Teilaufgabe e
Damit zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, muss ihr Skalarprodukt 0 sein.
Ein rechter Winkel bei bedeutet also, dass
1. Schritt: Stelle die Vektoren auf
Bilde die Vektoren:
2. Schritt: Bilde das Skalarprodukt
Setze die Vektoren ein und fasse so weit wie möglich zusammen.
Löse mithilfe der Lösungsformel für quadratischen Gleichung (Mitternachtsformel).
, ()
liegt nicht in der Definitionsmenge.
Die Seite des Drachenvierecks verläuft parallel zur x-Achse.
Begründen Sie, dass gilt:
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Lösung zur Teilaufgabe f
Der Steigungswinkel der Geraden und der Winkel sind Wechselwinkel und somit gleich groß. Der Steigungswinkel ist aus Teilaufgabe b bekannt:
Der gesuchte Winkel ist das Doppelte von .
Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video eine Schritt-für-Schritt Lösung der Aufgabe anschauen.
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