Ein Vektor bezeichnet eine Verschiebung und wird durch jeden Pfeil repräsentiert, der
- gleiche Länge
- und gleiche Richtung
wie die betreffende Verschiebung hat.
Vektoren werden meistens mit einem Kleinbuchstaben mit einem Pfeil darüber benannt. Typische Vektorennamen sind also
Die einzelnen Pfeile bezeichnet man als Repräsentanten dieses Vektors. Sie sind alle parallel zueinander.
Hier sieht man einige Repräsentanten des Vektors .
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Detaillierte Einführung
Eine schrittweise Einführung zum Thema findest du im Kurs Einführung in den Vektorbegriff (Vektoren in der Ebene I).
Video zur Einführung des Vektorbegriffs
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Repräsentanten untersuchen
Im Applet kannst du die Punkte A und B sowie den Vektorpfeil selbst verschieben und erforschen, wann sich der zugehörige Vektor verändert.
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Vektoren in Ebene und Raum
Der Vektor liegt in der x-y-Ebene
Der Vektor liegt im Raum
Die Koordinaten eines Vektors werden mit verschiedenen Schreibweisen bezeichnet. Beispiele sind:
vektorlänge
Länge eines Vektors
Die Länge oder der Betrag eines Vektors wird mit (oder auch ) bezeichnet und berechnet sich wie folgt:
, falls in der Ebene liegt
, falls im dreidimensionalen Raum liegt.
Im Artikel Länge eines Vektors findet man mehr Informationen dazu.
Übungsaufgaben
Berechne die Länge der folgenden Vektoren
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Weitere Übungsaufgaben: Aufgaben zur Länge eines Vektors.
Beziehungen zwischen zwei Vektoren
Parallelität
Zwei Vektoren und sind zueinander parallel, wenn der eine ein Vielfaches des anderen ist:
Übungsaufgaben
Lässt sich der Vektor durch eine Streckung des Vektors erzeugen? Wenn ja, bestimme den Faktor um den gestreckt wurde.
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Weitere Übungsaufgaben: Aufgaben zur skalaren Multiplikation und Vektorketten
Orthogonalität
Zwei Vektoren und sind zueinander orthogonal (= senkrecht), wenn ihr Skalarprodukt gleich 0 ist.
Ein Vektor , der orthogonal
- zu einem anderen Vektor oder
- zu einer Geraden oder
- zu einer Ebene
steht, nennt man Normalvektor (oder auch Normalenvektor) von , oder .
Vor allem Ebenen, aber auch Geraden, werden mit Normalvektoren in einer Normalform sehr einfach dargestellt.
Rechnungen mit Vektoren
Mit Vektoren lässt sich ähnlich wie bei Zahlen rechnen. Man kann also:
- Vektoren addieren und subtrahieren,
- Vektoren mit einer Zahl skalar multiplizieren (= strecken oder stauchen),
- zwei Vektoren miteinander multiplizieren.
Wichtig: Es gibt mehr als eine Art, Vektoren miteinander zu multiplizieren. Beim Skalarprodukt ist das Ergebnis eine Zahl (= ein Skalar), während beim Kreuzprodukt ein weiterer Vektor entsteht.
Eine weitere wichtige Rechnung, die man mit Vektoren machen kann, ist die sogenannte Matrix-Vektor-Multiplikation.
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