Das gleichschenklige Dreieck ist die Grundfläche des geraden Prismas . Der Punkt ist der Mittelpunkt der Basis . Der Punkt liegt senkrecht über dem Punkt und der Punkt ist der Mittelpunkt der Strecke .
Es gilt: .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas , wobei die Strecke auf der Schrägbildachse und der Punkt links vom Punkt liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: .
Zeichnen Sie sodann die Strecke ein und berechnen Sie das Maß des Winkels .
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Unter Berücksichtigung von und sollte dein Schrägbild von der folgenden Gestalt sein:
Die Strecke ist in der Skizze orange markiert. Der Winkel ist grün markiert.
Um die Größe des Winkels zu berechnen, betrachtet man das rechtwinklige Dreieck und benutzt den Tangens. Es gilt
Mithilfe der Umkehrfunktion des Tangens erhält man dann
Punkte liegen auf der Strecke . Die Winkel haben das Maß mit . Die Strecken und schneiden sich in Punkten .
Zeichnen Sie für die Strecke und den Punkt in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein.
Begründen Sie sodann rechnerisch die obere Intervallgrenze für .
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Die Strecke und der Punkt ist unten eingezeichnet.
Um die obere Intervallgrenze für zu begründen, betrachtet man das Dreieck . Verwendest du erneut den Tangens, so gilt
Die Umkehrfunktion führt auf
Da die Punkte variabel auf der Strecke liegen und somit niemals links von liegen kann, muss entsprechend für den Winkel gelten, dass ist.
Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken in Abhängigkeit von gilt:
Unter den Strecken hat die Strecke die minimale Länge.
Berechnen Sie die Länge der Strecke .
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In dieser Teilaufgabe betrachtet man die Dreiecke . Mithilfe des Sinussatzes in allgemeinen Dreiecken gewinnst du die Beziehung
Du kannst diese Gleichung direkt nach der gesuchten Größe umstellen und einsetzen, dass ist, sodass du erhältst:
An dieser Stelle musst du versuchen, etwas über die beiden in der Formel vorkommenden Winkel aussagen zu können.
Betrachte zunächst den Winkel . Da die Seite senkrecht auf der Seite steht und die beiden Seiten somit einen Winkel bilden, gilt zusammen mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe a), dass
Da die Innenwinkelsumme in jedem Dreieck beträgt, gilt somit in dem von uns betrachteten Dreieck :
Damit kannst du nun schreiben:
wobei im letzten Schritt ausgenutzt wurde, dass der Sinus die bekannte Eigenschaft besitzt, dass gilt.
Die Länge der Strecke wird minimal, wenn der Nenner seinen größten Wert annimmt. Der maximale Wert, den die Sinusfunktion annimmt, ist , sodass die minimale Länge der Strecke sich berechnet zu
Um nun die Strecke zu berechnen, kannst du den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck benutzen.
Dass das Dreieck tatsächlich rechtwinklig ist, liegt darin begründet, dass die Strecke minimal sein soll. Jene Strecke ist genau dann minimal, wenn das Lot auf ist und somit nach Definition des Lots die Strecke in einem rechten Winkel schneidet.
Es folgt somit:
Der Punkt ist die Spitze von Pyramiden mit den Grundflächen .
Zeichnen Sie die Pyramide in das Schrägbild zu Teilaufgabe a) ein und ermitteln Sie sodann rechnerisch das Volumen der Pyramiden in Abhängigkeit von .
[Ergebnis: ]
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Nachdem du die Pyramide in dein Schrägbild eingezeichnet hast, sollte es wie folgt aussehen:
Das Volumen der Pyramide berechnet sich über die Formel
Setzen wir die bekannten Größen ein, so ergibt sich:
Das Volumen der Pyramide ist um kleiner als das Volumen des Prismas .
Berechnen Sie das zugehörige Maß für .
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Zunächst berechnet man das Volumen des Prismas. Es gilt nach der bekannten Formel zur Berechnung eines Prismenvolumens:
Die Grundfläche ist das gleichschenklige Dreieck :
Mit den Werten folgt dann:
Somit erhältst du für das Prismenvolumen mit
Das Pyramidenvolumen ist um kleiner als das eben berechnete Volumen. Es beträgt also nur von , das heißt
Damit erhält man die Gleichung
die du nach umstellen musst. Dazu bringst du die Gleichung am besten auf folgende Form:
Mithilfe des Additionstheorems kannst du den Zähler des Bruchs auf der rechten Seite der Gleichung schreiben als
Umstellen dieser Gleichung führt auf
beziehungsweise äquivalent
Wendest du nun die Umkehrfunktion des Tangens auf diesen Ausdruck an, so erhältst du
Das zugehörige Maß für den Winkel ist also