Gegeben ist die Funktion f durch mit der Definitionsmenge sowie die lineare Funktion mit der Definitionsmenge .
Die Graphen der Funktion und in einem kartesischen Koordinatensystem werden mit bzw. bezeichnet.
Geben Sie an, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung.
"Der Graph der Funktion ist auf achsensymmetrisch zur y-Achse." (2 BE)
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- Hier genügt es nicht, den Funktionsterm zu untersuchen und damit Symmetrie festzustellen.
- Stattdessen musst du die eingeschränkte Definitionsmenge mit in deine Überlegungen einbeziehen.
Da nur gerade Exponenten für x vorkommen und somit gilt, könnte man meinen, dass der Graph achsensymmetrisch ist.
Allerdings ist dies aufgrund der Definitionsmenge nicht der Fall: Der Bereich rechts vom Ursprung ist größer als der links vom Ursprung (bis 4,5 bzw bis -3) und somit ist der Graph nicht symmetrisch, da links ein Teil "weggeschnitten" ist.
Die Aussage ist falsch.
Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion . (5 BE)
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Verwende zur Nullstellenbestimmung die Substitutionsmethode.
Beachte anschließend die eingeschränkte Definitionsmenge!
Gesucht sind die Nullstellen, setze deshalb zuerst
Umformung: :\frac{1}{12}
Die haben keinen Einfluss auf die Nullstellen (Satz vom Nullprodukt)
Da der Term aus drei Summanden besteht, man nicht mehr ausklammern kann und der erste Exponent das Doppelte vom zweiten ist, bietet sich die Substitution an:
Ersetze
Du erhältst:
Bestimme die Lösungen z. B. mit der Mitternachtsformel:
liefert und
Durch die Rücksubstitution machst du aus und wieder -Werte und die Lösungen der Gleichung:
Für :
verwende
Ziehe die Wurzel. Vergiss nicht, dass es zwei Lösungen gibt!
Für :
verwende
Ziehe die Wurzel.
Aufgrund der Definitionsmenge sind lediglich und die gesuchten Nullstellen.
Bestimmen Sie Art und Koordinaten sämtlicher Extrempunkte von und geben Sie die Wertemenge der Funktion an. (8 BE)
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- Beachte aufgrund der eingeschränkten Definitionsmenge auch die Randextrempunkte. Hier sind beide Ränder der Definitionsmenge eingeschlossen, es gibt also zwei Randextrempunkte.
- Bestimme die übrigen Extrema wie gewohnt durch:AbleitenNullstellen von bestimmenNachweis und Art der Extrempunkte über 2. Ableitung, Skizze oder MonotonietabelleLage durch Einsetzen in die Ausgangsfunktion f
- Die Art der Randextrempunkte kannst du jetzt durch Überlegungen und/oder eine grobe Skizze ebenfalls festlegen.
- Die Wertemenge erhältst du, indem du alle y-Koordinaten deiner Extrempunkte betrachtest und den kleinsten und größten Wert als Grenzen der Wertemenge wählst.
Randextrema
Da beide Ränder der Definitionsmenge eingeschlossen sind, gibt es zwei Randextrema, deren y-Koordinaten du wie gewohnt durch Einsetzen in den Funktionsterm erhältst:
und
Ob es sich dabei um Randhoch- oder Tiefpunkte handelt, kannst du erst entscheiden, nachdem du die anderen Extremstellen bzw. das Monotonieverhalten untersucht hast.
Extremstellen bestimmen
Bestimme die erste Ableitung von :
Bestimme nun die Nullstellen der Ableitungsfunktion, um die Kandidaten für Extremstellen zu finden:
Klammere 4x aus
Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt immer dann 0 ist, wenn mindestens ein Faktor 0 ist. Der Faktor ist nie 0. Unterscheide deshalb:
und
Der erste Faktor liefert direkt die erste Nullstelle
Untersuche weiter:
Umformung: +10
Ziehe die Wurzel. Beachte, dass es zwei Lösungen gibt.
Da ist diese Nullstelle nicht in der Definitionsmenge und deshalb nicht weiter interessant.
Bestimme die Art aller Extremstellen, z. B. über die Monotonietabelle:
x | -3 | <x< | 0 | <x< |
| <x< | 4,5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
+ | 0 | - | 0 | + | |||
Rand- TIP (da danach | HOP | TIP | Rand- HOP (da davor |
Bestimme vom Hochpunkt bei und vom Tiefpunkt bei die y-Koordinaten durch Einsetzen in :
, also
, also
und bereits berechnet: und
Wertemenge angeben
Wähle nun den kleinsten und den größten y-Wert aller Extrempunkte für die Wertemenge aus.
Als Hilfestellung: , und
Der kleinste y-Wert ist also beim Tiefpunkt und der größte y-Wert beim Randhochpunkt :
Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse den Graphen und die Gerade in ein kartesisches Koordinatensystem.
Maßstab für beide Achsen: (5 BE)
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- Beachte die gegebene Definitions- und die soeben berechnete Wertemenge beim Zeichnen des Koordinatensystems.
- Starte zunächst durch die Markierung der Definitionsmenge durch senkrechte, gestrichelte Linien. Zeichne nicht über diese Linien hinaus!
- Da du die Funktion zeichnen sollst, fertige eine Wertetabelle für den gegebenen Definitionsbereich an und markiere dann die Punkte.
- Gehe anschließend von oben nach unten durch alle Teilaufgaben und markiere berechnete Punkte.
- Im ersten Angabentext war auch von der Gerade g die Rede, zeichne diese ebenfalls ein.
Die Zeichnung mit der Wertetabelle ist ein guter Moment, um deine bisher berechneten Ergebnisse zu überprüfen!
Die Graphen der beiden Funktionen und schneiden sich an den Stellen , und (Nachweis nicht erforderlich) und schließen somit zwei endliche Flächenstücke ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts des kleineren der beiden Flächenstücke. Runden Sie Ihr Ergebnis auf zwei Nachkommastellen. (4 BE)
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- Markiere dir zunächst als Hilfestellung die gesuchte Fläche in deiner Skizze
- Du suchst den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen im Intervall .
- Um den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen zu bestimmen, musst du zuvor die Differenzfunktion bilden, indem du den Funktionsterm der Funktion, die im Intervall weiter unten verläuft von dem Funktionsterm abziehst, der im Intervall weiter oben verläuft.
- Danach berechnest du wie gewohnt den Wert des bestimmten Integrals mit dieser Differenzfunktion, indem du eine Stammfunktion bestimmst, die Intervallgrenzen einsetzt und die Werte voneinander abziehst.
Flächenstück markieren
Gesucht ist also das linke Flächenstück im Intervall .
Differenzfunktion bilden
Um den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen zu bestimmen, verwendest du eine Differenzfunktion . Das heißt nichts anderes, als dass du vom Funktionsterm, dessen Graph in der Zeichnung weiter oben verläuft, den Funktionsterm des anderen Graphen abziehst.
Der Graph von f verläuft oberhalb vom Graphen , also:
Wert des bestimmten Integrals berechnen
Der Flächeninhalt entspricht dem Wert des bestimmten Integrals
.
Bestimme den zugehörigen Wert:
Bilde eine Stammfunktion S(x) von s(x).
Setze 1 und -1 in diese Stammfunktion ein, subtrahiere die Ergebnisse.