Gegeben sind eine Kugel mit Mittelpunkt , Radius und eine Gerade
.
Zeige, dass die Gerade eine Sekante der Kugel ist. Gib auch beide Schnittpunkte an.
Lösung anzeigen
Stelle die Kugelgleichung in vektorieller Form auf und setze die Geradengleichung in die Gleichung ein. Damit eine Sekante der Kugel ist, solltest du bei der Schnittpunktsberechnung zwei Lösungen erhalten.
Aufstellen der Kugelgleichung
,
Setze die Gleichung der Geraden für den Vektor in die Kugelgleichung ein.
Fasse zusammen.
Vereinfache weiter.
Rechne das Skalarprodukt aus.
Löse die Klammern auf und vergiss dabei nicht die binomische Formel anzuwenden.
Fasse die linke Seite zusammen.
Umformung: -11
Umformung: 36t\;\text{ausklammern}
Du hast die quadratische Gleichung erhalten. Zur Lösung dieser Gleichung kannst du den Satz vom Nullprodukt verwenden.
Erster Faktor:
Zweiter Faktor:
Die quadratische Gleichung hat somit die Lösungsmenge .
Da es zwei Lösungen gibt, schneidet die Gerade die Kugel in zwei Punkten. Die Gerade g ist eine Sekante.
Schnittpunkte berechnen
Setze die zwei gefundenen Parameter und in die Geradengleichung
ein.
Antwort: Die beiden Schnittpunkte haben die Koordinaten und .
Gib für die beiden Schnittpunkte und jeweils die zugehörende Tangentialebene in Koordinatenform an.
Lösung anzeigen
Setze in die Gleichung der Tangentialebene für den Vektor einen der beiden Schnittpunkte ein und setze für den Vektor den Kugelmittelpunkt ein.
Aufstellen der Tangentialebenengleichung im Punkt
Setze für die Koordinaten des ersten Schnittpunktes ein. Setze den Mittelpunkt ein.
Vereinfache.
Diese Gleichung ist die Normalengleichung der Ebene.
Vereinfache
Um die Koordinatengleichung zu erhalten, rechne das Skalarprodukt aus.
Löse die Klammern auf.
Vereinfache.
Antwort: Die Tangentialebene hat die Gleichung .
Aufstellen der Tangentialebenengleichung im Punkt
Setze für die Koordinaten des zweiten Schnittpunktes ein. Setze den Mittelpunkt ein.
Vereinfache.
Diese Gleichung ist die Normalengleichung der Ebene.
Vereinfache.
Um die Koordinatengleichung zu erhalten, rechne das Skalarprodukt aus.
Löse die Klammern auf.
Vereinfache.
Antwort: Die Tangentialebene hat die Gleichung .
Zeige, dass sich die beiden Tangentialebenen und schneiden und berechne die Gleichung der Schnittgeraden.
Lösung anzeigen
Schnitt von und
Die beiden Tangentialebenen und haben die beiden Normalenvektoren:
und .
Die Normalenvektoren sind nicht Vielfache voneinander. Die beiden Ebenen sind somit nicht parallel, d.h. sie schneiden sich.
Berechnung der Schnittgeraden
Die beiden Ebenengleichungen liegen in der Koordinatenform vor. Die Berechnung der Schnittgeraden erfolgt durch Lösen eines Gleichungssystems aus Gleichungen mit Unbekannten. Dabei gibt es mehrere Lösungswege z.B. das Einsetzungsverfahren oder das Additionsverfahren. Die Lösung des Gleichungssystems erfolgt hier mit dem Additionsverfahren.
Die Tangentialebene ist Gleichung und die Tangentialebene ist Gleichung .
Eliminiere eine Variable z.B. die Variable .
Rechne :
Du hast die Gleichung erhalten.
Bei Gleichungen mit Unbekannten ist eine Unbekannte frei wählbar. Wähle z.B. .
Somit lautet die Gleichung .
Setze die Gleichung und in Gleichung ein.
Setze und ein.
Löse die Klammer auf.
Vereinfache.
Umformung: -42+4s
Schreibe die drei erhaltenen Gleichungen für , und untereinander und sortiere entsprechend.
Antwort: Die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Tangentialebenen lautet:
Alternative Berechnung der Schnittgeraden
In der obigen Rechnung wurde die Variable frei gewählt. Alternativ kannst du auch die Variable frei wählen. Du hast die Gleichung erhalten. Wähle nun . Somit lautet die Gleichung .
Setze und die Gleichung in Gleichung ein.
Setze und in.
Löse die Klammer auf.
Vereinfache.
Schreibe die drei erhaltenen Gleichungen für , und untereinander und sortiere entsprechend.
Antwort: Die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Tangentialebenen lautet:
Die beiden Geradengleichungen
und
sind identisch, da die Richtungsvektoren gleich sind und der Aufpunkt der zweiten Geraden für auf der ersten Geraden liegt.
Unter welchen Winkel schneiden sich die beiden Tangentialebenen?
Lösung anzeigen
Lies die Normalenvektoren aus den Koordinatengleichungen ab und setze sie in die Formel für den Schnittwinkel zweier Ebenen ein.
Für den Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen gilt folgende Formel:
Im Zähler des Bruches steht der Betrag des Skalarproduktes der beiden Normalenvektoren und der beiden Tangentialebenen und . Im Nenner des Bruches steht das Produkt der Beträge der beiden Normalenvektoren.
Lies die Normalenvektoren aus den Koordinatengleichungen ab:
und
Für den Betrag von gilt:
Für den Betrag von gilt:
Setze in die oben genannte Formel ein:
Berechne das Skalarprodukt und vereinfache.
Vereinfache.
Berechne den Betrag.
Du hast die Gleichung erhalten. Durch Anwendung der Umkehrfunktion des Kosinus kannst du den Winkel berechnen.
Hinweis: Benutze auf dem Taschenrechner die Funktion .
Antwort: Der Schnittwinkel zwischen den beiden Tangentialebenen beträgt rund .
Graphische Darstellung
Die nebenstehende Abbildung ist nicht verlangt worden.
Sie dient nur der Veranschaulichung.
