Der Betrag einer Zahl ergibt sich als der Abstand der Zahl auf dem Zahlenstrahl von der Null. Man erhält ihn durch Weglassen des Vorzeichens. Falls eine Zahl positiv ist, ist der Betrag einfach diese Zahl. Falls die Zahl negativ ist, ist der Betrag das negative dieser Zahl. Die Schreibweise für den Betrag einer Zahl ist .
Formal: Für eine Zahl ist
Eine Formel bzw. Variable in Betragsstrichen kann also nie negativ werden.
Zahlenstrahl
Verschiebe mit dem Regler den Wert zwischen und .
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Beispiele
Beträge von Zahlen:
Beträge in Termen:
Beträge in Funktionstermen:
Rechenregeln
Für alle Zahlen gelten folgende Regeln
- (Dreiecksungleichung)
Auswirkungen auf die Kurvendiskussion
Beträge haben Auswirkungen auf viele Funktionseigenschaften:
Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Wertemenge, Monotonieverhalten, Grenzwerte, Symmetrieverhalten.
Hier muss man die Funktion auf den einzeln definierten Abschnitten jeweils separat betrachten. Auf diesen Abschnitten ist die Funktion aber ohne Beträge definiert und kann "normal" behandelt werden.
Die Ableitung
Die Ableitung der Betragsfunktion ist für definiert als:
Für ist der Betrag nicht differenzierbar:
Beispiel
Es gelten alle Ableitungsregeln.
Zuerst wurde die äußere Potenz abgeleitet, danach der Betrag nachdifferenziert.
Da sowieso für und die gleichen positiven Werte liefert, ist der Betrag hier überflüssig. Das zeigt auch die Ableitung, die identisch ist mit der Ableitung von .