Gegeben ist die Funktion mit . Der Graph wird mit bezeichnet.
Ermitteln Sie sämtliche Nullstellen der Funktion mit jeweiliger Vielfachheit. (4 BE)
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Grundsätzlich gibt es mehrere Methoden, Nullstellen einer Funktion zu ermitteln: Ausklammern und Satz vom Nullprodukt, Polynomdivision, Substitution und für quadratische Funktionen die Mitternachtsformel.
Für diese Aufgabe kannst du Ausklammern und anschließend dank dem Satz vom Nullprodukt die Mitternachtsformel verwenden. Außerdem musst du wissen, wie man die Vielfachheit einer Nullstelle bestimmt.
Klammere den Faktor aus.
Setze beide Faktoren nach dem Satz vom Nullprodukt gleich Null.
und
Löse die erste Gleichung nach auf, indem du durch teilst.
Löse die zweite Gleichung auf, indem du in die Mitternachtsformel einsetzt.
Damit erhält man eine einfache Nullstelle bei und eine doppelte Nullstelle bei .
Bestimmen Sie die maximalen Monotonieintervalle sowie Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte des Graphen . (8 BE)
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Vorgehen
Für die Bestimmung der maximalen Monotonieintervalle musst du die erste Ableitung bilden und gleich Null setzen. Anschließend kannst du mit Hilfe einer Vorzeichenwechseltabelle die Art der Extrema bestimmen. Wenn du abschließend noch die ermittelten -Werte in die Funktion einsetzt, erhälst du auch die -Koordinaten und damit die Lage der Extrema.
Maximale Monotonieintervalle
Ableitung bilden
Die Ableitung der Funktion bildest du, indem du das Gesetz für die Ableitung von Potenzenfunktionen verwendest.
Nullstellen der Ableitung
Dazu setzt du die Ableitung gleich Null:
Teile durch den Vorfaktor.
Löse die quadratische Gleichung entweder Einsetzen in die Mitternachtsformel.
Maximale Monotonieintervalle
Damit sind die Grenzen der Monotonieintervalle und . Schreibe die dadurch abgetrennten Intervalle in Intervallschreibweise. Achte darauf, dass die Nullstellen ausgeschlossen sein müssen.
und und
Art der Extrema
Dafür fertigst du eine Vorzeichenwechseltabelle (Monotonietabelle) an:
x | |||||
|---|---|---|---|---|---|
VZ von f'(x) | |||||
Alternative Bestimmung durch die 2. Ableitung
Auch mit Hilfe der zweiten Ableitung kannst du die Art von Extrema bestimmen. Dazu bildest du diese und setzt die -Werte ein.
Bei ist die zweite Ableitung größer als Null, also ist hier ein Tiefpunkt.
Bei ist die zweite Ableitung kleiner als Null, also ist hier ein Hochpunkt.
Bei ist ein Tiefpunkt und bei ist ein Hochpunkt.
Lage der Extrema
Setze dazu die ermittelten -Werte in die Funktion ein:
Damit weiß man, dass bei ein Tiefpunkt und bei ein Hochpunkt liegt.
Berechnen Sie die maximale positive Steigung des Graphen . (5 BE)
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Die Steigung wird durch die Ableitungsfunktion dargestellt. Will man nun die Stelle mit maximaler Steigung ermitteln, sucht man das Extremum der Ableitung. Um dieses herauszufinden, geht man genauso vor, wie bei dem Extremum einer Funktion (Extrema berechnen). Man leitet einmal ab und setzt das Ergebnis gleich Null. Nur diesmal handelt es sich bei dem Abzuleitendem bereits um die Ableitung.
Du bildest also die Ableitung der Ableitung (Ableitung von Potenzenfunktionen), also die zweite Ableitung:
Diese setzt du gleich Null:
Teile durch den Vorfaktor.
Isoliere auf einer Seite.
Teile durch den Faktor.
Jetzt kennst du die Stelle, an der die Steigung extrem ist. Um zu erkennen, dass es sich um ein Maximum handelt, kannst du eine weitere Ableitung bilden und den Wert einsetzen:
Nachdem dieser Wert unabhängig vom -Wert kleiner als ist, muss es sich um ein Maximum haben. Alternativ hättest du dir auch eine Vorzeichenwechseltabelle (Monotonietabelle) anschauen können.
Nachdem du nun auch weißt, dass es sich um ein Maximum handelt, kannst du den Wert dieser Steigung noch genau ausrechnen, indem du den -Wert in die Ableitung einsetzt:
Die maximal positive Steigung des Graphen beträgt .
Zeichnen Sie den Graphen im Bereich unter Kennzeichnung bisheriger Ergebnisse in ein kartesisches Koordinatensystem. Maßstab: . (4 BE)
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Um einen Graphen zu zeichnen, bietet es sich an, eine Wertetabelle zu erstellen.
Wertetabelle
Merkmale
Du sollst den Graphen unter "Kennzeichnung bisheriger Ergebnisse" zeichnen, deswegen solltest du folgende Merkmale einzeichnen
- einfache Nullstelle bei
- doppelte Nullstelle bei und gleichzeitig Tiefpunkt bei
- Hochpunkt bei
- Wendepunkt bei , da hier der Ort maximaler Steigung ist
Graph
