In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte , und das Dreieck ABC fest, das in der Ebene liegt.
Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. (3 BE)
Das Dreieck ABC stellt modellhaft einen Spiegel dar. Der Punkt gibt im Modell die Position einer Lichtquelle an, von der ein Lichtstrahl ausgeht.
Die Richtung dieses Lichtstrahls wird im Modell durch den Vektor beschrieben.
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Wenn es um den Flächeninhalt eines Dreiecks geht, solltest Du zuerst prüfen, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Wenn zwei Seiten aufeinander senkrecht stehen, kann der Flächeninhalt besonders schnell ermittelt werden: Eine Seite ist dann die Grundlinie und die andere die zugehörige Höhe. Das scheint hier aber nicht der Fall zu sein, daher ist die Flächenberechnung mit dem Vektorprodukt die 1. Wahl:
Der Flächeninhalt beträgt Flächeneinheiten.
Geben Sie eine Gleichung der Geraden an, entlang derer der Lichtstrahl im Modell verläuft. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts , in dem g die Ebene schneidet, und begründen Sie, dass der Lichtstrahl auf dem dreieckigen Spiegel auftrifft. (5 BE)
(zur Kontrolle: )
Der einfallende Lichtstrahl wird in demjenigen Punkt des Spiegels reflektiert, der im Modell durch den Punkt dargestellt wird. Der reflektierte Lichtstrahl geht für einen Beobachter scheinbar von einer Lichtquelle aus, deren Position im Modell durch den Punkt beschrieben wird (vgl. Abbildung).
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Bei der gesuchten Geraden ist die Parameterform aufzustellen, wobei die Gerade durch den Punkt (Aufpunkt) geht und
der Richtungsvektor ist:
Schnittpunkt Gerade mit Ebene
Der gesuchte Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene () ergibt sich so: Da die Ebene in Koordinatenform gegeben ist, werden die 3 einzelnen Gleichungen der Parameterform der Geraden in die Koordinatengleichung eingesetzt. Dadurch ergibt sich eine Gleichung, in der nur noch die Variable vorkommt!
Setzt man in die Gleichung der Geraden ein, ergibt sich der gesuchte Schnittpunkt :
Der Schnittpunkt hat also die Koordinaten .
Nachweis, dass der Schnittpunkt innerhalb des Spiegels (Dreieck ABC) liegt.
Der Dreieckspiegel-Fläche ist nur eine begrenzte Teilmenge der Ebene und es ist also nachzuweisen, dass innerhalb der Dreiecksgrenzen liegt.
Die schnellste und einfachste Methode des Nachweises setzt voraus, dass man die besondere Lage des Dreiecks erkennt. Es hat gerade die 3 Spurpunkte der Ebene als Eckpunkte, denn , und liegen gerade auf den Koordinatenachsen , und . Das Dreieck ist also der Teil der Ebene, der im 1. Oktanden verläuft. Im 1. Oktanden sind alle 3 Koordinaten . Da auch der Schnittpunkt lauter positive Koordinaten hat, liegt auch im 1. Oktanden und somit muss innerhalb der Spiegelfläche liegen.
Der Lösungsweg hinterlässt möglicherweise den schalen Nachgeschmack eines Lösungsweges, der nur zu einem ganz speziellen Problem passt und den man im Eifer der Prüfung so nicht erkannt hätte. Daher soll ein alternativer Lösungsweg vorgestellt werden, der auf vergleichbare Problemstellung für ein beliegbiges Parallelogramm oder Dreieck die Antwort gibt:
Lösungsalternative
Dazu wird zunächst folgendes Bild betrachtet:
Es zeigt das Dreieck bzw. das Parallelogramm . Ein Punkt liegt innerhalb der Seiten des Parallelogramms, wenn für die Parameter aus dem Intervall stammen. Z. B. wird für gerade der Punt erreicht.
Dabei wird ein Punkt durch einen Linearkombination der Richtungsvektoren und dargestellt, ausgehend vom Aufpunkt :
Im Prinzip wie eine Parameterdarstellung einer Ebene, aber mit einem endlichen Bereich für die Parameter und .
Soll der Punkt gar innerhalb des Dreiecks liegen, so wird anschaulich schnell klar, dass für Punkte auf der Strecke gilt:
.
Für Punkte im Dreiecksinneren lautet die Bedingung: .
Um also nachzuweisen, dass ein Punkt im Inneren eines Dreiecks liegt, ermittelt man die Werte der Parameter und prüft, ob die Summenbedingung erfüllt ist!
Und wie kommt man auf die Summenbedingung ? Man stellt zwei Linearkombinationen für einen Punkt auf, der auf der Strecke liegt:
Nun sortiert man nach den Vektoren , und :
Ein Vergleich der Koeffizienten zeigt insbesondere: .
Zeigen Sie, dass die Punkte und bezüglich der Ebene symmetrisch sind. (3 BE)
Das Lot zur Ebene im Punkt wird als Einfallslot bezeichnet.
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Über die gegenseitge Lage von Punkt und Spiegelpunkt gibt es eine Reihe von zutreffenden Aussagen, z. B. wird die Verbindungslinie der beiden Punkte durch die Spiegelebene halbiert und sie steht auch senkrecht auf der Spiegelebene.
Im Folgenden wird daher der Mittelpunkt von und bestimmt und gezeigt, dass er in liegt und es wird gezeigt, dass senkrecht auf der Ebene steht, also ein Vielfaches des Normalenvektors der Ebene ist!
Der Mittelpunkt von und liegt in :
Einsetzen von in liefert die wahre Aussage:
D. h. . Bleibt noch zu zeigen:
steht senkrecht auf der Ebene
Der Differenzvektor von und ergibt sich zu:
Das ist das -fache des Normalenvektors
Somit ist gezeigt, dass und bezüglich der Ebene spiegelbildlich liegen.
Die beiden Geraden, entlang derer der einfallende und der reflektierte Lichtstrahl im Modell verlaufen, liegen in einer Ebene . Ermitteln Sie eine Gleichung von in Normalenform. Weisen Sie nach, dass das Einfallslot ebenfalls in der Ebene liegt. (5 BE)
(mögliches Teilergebnis: )
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In der folgenden Abbildung kannst Du Dir zunächst einen Überblick über das bisherige und künftige Geschehen verschaffen:
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Mit Lot ist hier die Lotgerade gemeint. Aus der vorangehenden Teilaufgabe ist der Richtungsvektor des Lots schon bestimmt. Es ist gerade der Normalenvektor der Ebene . Zusammen mit dem Aufpunkt ist die Gleichung des Einfallslots
Nun soll aber zunächst die Gleichung der Ebene bestimmt werden. Aufpunkt der Ebene ist der Punkt , ihr Normalenvektor ergibt sich als Vektorprodukt aus den Richtungsvektoren von einfallendem und reflektiertem Strahl. Diese wiederum werden als Differenzvektoren der Punkte und bzw, und bestimmt:
Somit ist der Normalenvektor der Ebene :
Zusammen mit dem Aufpunkt ergibt sich damit als Normalenform der Ebene F:
Nachweis, dass diese Normalenform der Koordinatenform im Kontrollergebnis entspricht
Hierzu ist das Skalarpordukt in der Normalenform auszuführen:
Bleibt noch zu zeigen, dass die Lotgerade in der Ebene liegt. Dazu setzt man die Lotgerade an die Stelle von in die Ebenengleichung ein:
Aus der allgemeingültigen Aussage folgt die Richtigkeit des Ansatzes: Die Lotgerade liegt in der Ebene .
Zeigen Sie, dass die Größe des Winkels β zwischen reflektiertem Licht-strahl und Einfallslot mit der Größe des Winkels α zwischen einfallendem Lichtstrahl und Einfallslot übereinstimmt. (4 BE)
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Immer wenn es in der anaytischen Geometrie um die Berechnung von Winkeln geht, wird dazu eigentlich mittels des Skalarprodukts der beiden Schenkel (Richtungsvektoren) der Kosinus des Winkels zwischen den zugehörigen Richtungsvektoren berechnet:
Kosinus des Winkels zwischen und dem Richtungsvektor der Lotgeraden :
Entsprechend erhält man für den Winkel zwischen zwischen und dem Richtungsvektor der Lotgeraden
Sowohl für als auch für ergibt sich damit der spitze Winkel .
Reflexionsgesetz
Was mit der letzten Teilaufgabe an einem konkreten Fall demonstriert wird, ist in der Optik als Reflexionsgesetz bekannt:
Beim Übergang zwischen zwei verschieden transparenten Medien wird eine Teil des Lichtes ins Medium zurückreflektiert. Für die Winkel des einfallenden Strahls zum Einfallslot und des reflektierten Strahls zum Einfallslot gilt dabei: Einfallswinkel Ausfallswinkel .