Ebenen können im Raum auf verschiedene Arten zueinander liegen. Die verschiedenen Möglichkeiten sind folgende:
Mögliche Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen
- Ebenen identisch: Jeder Punkt, der auf der einen Ebene ist, ist auch auf der anderen, es gibt unendliche viele Schnittgeraden.
- Ebenen schneiden sich: Ebenen besitzen genau eine gemeinsame Schnittgerade, die alle Punkte, die auf beiden Ebenen liegen, enthält.
- Ebenen echt parallel: Ebenen besitzen keine gemeinsamen Punkte und auch keine Schnittgerade.
Visualisierung der Lagebeziehungen
Schneidende Ebenen mit Schnittgerade | Zwei parallele Ebenen |
|---|
Bestimmung der Lagebeziehung (analytische Geometrie)
Auf diese Weise kann die Schnittgerade zweier Ebenen berechnet werden, sofern sie existiert, oder man kann zeigen, dass keine oder unendlich viele existieren:
Zur Berechnung braucht man eine Ebene in Koordinatenform,
und eine Ebene in Parameterform:
Falls die Ebenen nicht in der hier gebrauchten Form sind, hier können sie umgewandelt werden.
Vorgehensweise:
- Einsetzen der Ebene in Parameterform in die Ebene in Koordinatenform. Hier wird die erste Zeile für in die Koordinatenform eingesetzt, die zweite Zeile für usw.
- Erhaltene Gleichung vereinfachen
- Versuche die Gleichung nach einer der beiden Variablen aufzulösen z.B. mögliches Ergebnis:
Aus dem Ergebnis der Gleichung folgt, welcher der oberen 3 Fälle vorliegt.
Liefert das Ergebnis…
- ... eine wahre Aussage, die nicht von und abhängt, z. B. von der Form : Beide Ebenen sind identisch, und alle Punkte der einen Ebene liegen in der anderen.
- … eine für alle und falsche Aussage z. B. ist Ergebnis von der Form : Beide sind Ebenen echt parallel und haben keine gemeinsamen Punkte.
- … eine Gleichung, die von und/ oder abhängt, z. B. in der Form : Die Ebenen schneiden sich und es gibt genau eine Gerade, auf der alle gemeinsamen Punkte liegen.
Beispiel: Schnittgerade bestimmen
Es ist
eine Ebene in Koordinatenform und
eine Ebene in Parameterform.
Setze in ein:
Wenn man nun in durch ersetzt, so erhält man die Gleichung der Schnittgeraden g:
Eingebetteter Serlo-Inhalt