Die beiden Diagramme zeigen für die Bevölkerungsgruppe der über 14-Jährigen in Deutschland Daten zur Altersstruktur und zum Besitz von Mobiltelefonen.
Aus den über 14-Jährigen in Deutschland wird eine Person zufällig ausgewählt. Betrachtet werden folgende Ereignisse:
M: „Die Person besitzt ein Mobiltelefon."
S: „Die Person ist 65 Jahre oder älter."
E: „Mindestens eines der Ergebnisse und tritt ein."
Geben Sie an, welche zwei der folgenden Mengen I bis VI jeweils das Ereignis beschreiben. (2 BE)
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Der Ausdruck "mindestens eines von zwei Ereignissen" steht für die Vereinigung der zwei Ereignisse. Also ist das Ereignis gleich der Vereinigungsmenge der Ereignisse und :
Du kannst dir das Ereignis auch so vorstellen: Es tritt in genau drei Fällen ein:
- Wenn sowohl das Ereignis als auch das Ereignis eintreten:
- Wenn das Ereignis eintritt und das Ereignis nicht eintritt:
- Wenn das Ereignis nicht eintritt und das Ereignis eintritt:
Die Vereinigung dieser drei Fälle ist:
Antwort: Die Mengen und beschreiben das Ereignis .
Entscheiden Sie anhand geeigneter Terme und auf der Grundlage der vorliegenden Daten, welche der beiden folgenden Wahrscheinlichkeiten größer ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung. (3 BE)
ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person ein Mobiltelefon besitzt, wenn bekannt ist, dass sie 65 Jahre oder älter ist.
ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person 65 Jahre oder älter ist, wenn bekannt ist, dass sie ein Mobiltelefon besitzt.
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Bei und handelt es sich um bedingte Wahrscheinlichkeiten. Du bist sicher, dass ein Ereignis eigetreten ist ("wenn bekannt ist"). Unter dieser Bedingung bestimmst du die Wahrscheinlichkeit, dass ein zweites Ereignis eintritt.
Bei weißt du, dass die ausgewählte Person 65 Jahre oder älter ist (Ereignis ). Unter dieser Bedingung bestimmst du die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgewählte Person ein Mobiltelefon besitzt (Ereignis ).
Diese bedingte Wahrscheinlichkeit entspricht einem Bruch. Du teilst die Wahrscheinlichkeit , dass beide Ereignisse eintreten, durch die Wahrscheinlichkeit , dass das angenommene Ereignis eintritt.
Das heißt:
Bei gehst du entsprechend vor: Du weißt, dass die ausgewählte Person ein Mobiltelefon besitzt (Ereignis ). Unter dieser Bedingung bestimmst du die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgewählte Person 65 Jahre oder älter ist (Ereignis ).
Diese bedingte Wahrscheinlichkeit entspricht einem Bruch. Du teilst die Wahrscheinlichkeit , dass beide Ereignisse eintreten, durch die Wahrscheinlichkeit , dass das angenommene Ereignis eintritt.
Das heißt:
Du musst also zwei Brüche miteinander vergleichen. Es gilt:
Beide Brüche haben also den gleichen Zähler. Entscheidend sind folglich die Nenner. Das erste Kreisdiagramm zeigt, dass der über 14-Jährigen in Deutschland 65 Jahre alt oder älter sind. Also tritt Ereignis mit einer Wahrscheinlichkeit von ein.
Das zweite Kreisdiagramm zeigt, dass der über 14-Jährigen in Deutschland ein Mobiltelefon besitzen. Also tritt Ereignis mit einer Wahrscheinlichkeit von ein.
Der Nenner des ersten Bruchs ist also kleiner als der Nenner des zweiten Bruchs. Die Zähler der beiden Brüche sind gleich. Das bedeutet, dass der erste Bruch größer als der zweite Bruch ist.
Antwort: ist größer als .
Erstellen Sie zu dem beschriebenen Sachverhalt für den Fall, dass das Ereignis E mit einer Wahrscheinlichkeit von 98% eintrifft, eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel. Bestimmen Sie für diesen Fall die Wahrscheinlichkeit . (5 BE)
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Du musst eine Vierfeldertafel erstellen. Du siehst erst das Ergebnis und dann die Herleitung:
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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich minus die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses.
Mathematisch Herleitung der Formel
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses (also ) minus die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses. Wir wenden außerdem das doppelte Komplement an:
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich minus die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses.
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich minus die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses. Du wendest außerdem ein de Morgan Gesetz für Mengen an:
Aus a) weiß man, dass gilt:
Die drei Wahrscheinlichkeiten kannst du auf dieselbe Weise bestimmen: Ziehe von der Wahrscheinlichkeit am Rand der Zeile oder Spalte die bereits bekannte Wahrscheinlichkeit in der Zeile oder Spalte ab.
Mathematische Herleitung des Rechenweges
Sehen wir uns am Beispiel von an, was mathematisch dahinter steckt.
Wir wenden ein Distributivgesetz für Mengen an:
Für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung zweier Ereignisse gilt:
Mit dem Assoziativgesetz für Schnittmengen gilt:
Mit dem Kommutativgesetz für Schnittmengen folgt:
Nach der Anwendung des Gesetzes für die Komplementmenge und des Idempotenzgesetzes für Schnittmengen steht da:
Schließlich impliziert das Dominanzgesetz für Schnittmengen:
Die Wahrscheinlichkeit des leeren Ereignisses ist gleich Null. Zusammenfassend gilt also:
Es handelt sich um eine bedingte Wahrscheinlichkeit. D. h. du bist sicher, dass ein Ereignis (hier ) eingetreten ist. Dann bestimmt du unter dieser Bedingung die Wahrscheinlichkeit, dass ein zweites Ereignis (hier ) eintritt. Die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnest du als Bruch. Teile die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse zusammen eintreteten, durch die Wahrscheinlichkeit, dass das erste Ereingis eintritt.