In der Lungenfunktionsdiagnostik spielt der Begriff der Atemstromstärke eine wichtige Rolle. Im Folgenden wird die Atemstromstärke als die momentane Änderungsrate des Luftvolumens in der Lunge betrachtet, d.h. insbesondere, dass der Wert der Atemstromstärke beim Einatmen positiv ist. Für eine ruhende Testperson mit normalem Atemrhythmus wird die Atemstromstärke in Abhängigkeit von der Zeit modellhaft durch die Funktion mit Definitionsmenge beschrieben.
Dabei ist die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Sekunden und die Atemstromstärke in Litern pro Sekunde. Abbildung 5 zeigt den durch die Funktion beschriebenen zeitlichen Verlauf der Atemstromstärke.
Berechnen Sie und interpretieren Sie das Vorzeichen dieses Werts im Sachzusammenhang. (2 BE)
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Die richtige Bearbeitung dieser Aufgabe erfordert Kenntnisse der Sinus- und Kosinusfunktion im Zusammenhang mit der Differentialrechnung und der Interpretation des Ergebnisses in einem Sachzusammenhang.
Einsetzen der Zeit in ergibt:
Gemäß der Vereinbarung im Vortext ist der negative Wert als Atemstromstärke beim Ausatmen zu verstehen.
Beim Atmen ändert sich das Luftvolumen in der Lunge. Geben Sie auf der Grundlage des Modells einen Zeitpunkt an, zu dem das Luftvolumen in der Lunge der Testperson minimal ist, und machen Sie Ihre Antwort mithilfe von Abbildung 5 plausibel. (2 BE)
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Vorüberlegung: Im Sachkontext ist das Luftvolumen der Lunge dann minimal, wenn die zusammenhängende Zeitdauer des Ausatmens maximal ist. Am Ende des Zeitintervalls von muss daher das Luftvolumen minimal sein.
Im mathematischen Modell ist die momentane Änderungsrate des Luftvolumens und daher hat das Luftvolumen an den Nullstellen von Extremwerte.
Wegen und wegen des Vorzeichenswechsel von nach wechselt an der Stelle die Abnahme des Luftvolumens in eine Zunahme. Es liegt daher ein Minimum vor.
Berechnen Sie und deuten Sie den Wert des Integrals im Sachzusammenhang. (4 BE)
(Teilergebnis: Wert des Integrals: 0,5)
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Zur Berechnung des bestimmten Integrals ist zunächst eine Stammfunktion von zu finden. Der Faktor im Argument der Sinusfunktion ist bei der Stammfunktion vorweg zu berücksichtigen (Kettenregel). Eine Stammfunktion lautet daher:
Für das bestimmte Integal ergibt sich damit:
In der Zeit von bis werden also Luft eingeatmet.
Zu Beginn eines Ausatemvorgangs befinden sich Luft in der Lunge der Testperson. Skizzieren Sie auf der Grundlage des Modells unter Berücksichtigung des Ergebnisses aus Aufgabe 3c in einem Koordinatensystem für den Graphen einer Funktion, die den zeitlichen Verlauf des Luftvolumens in der Lunge der Testperson beschreibt. (3 BE)
Die Testperson benötigt für einen vollständigen Atemzyklus 4 Sekunden. Die Anzahl der Atemzyklen pro Minute wird als Atemfrequenz bezeichnet.
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Nachdem im Sachzusammenhang die Bedeutung der momentanen Änderungsrate des Luftvolumens hat, hat die Stammfunktion die Bedeutung des Luftvolumens und ist wie bei allen Stammfunktionen bis auf eine Konstante eindeutig festgelegt. Da oben schon verwendet wurde, wird hier die Bezeichnung verwendet.
Bedingung zur Festlegung der Konstanten
Volumenfunktion
.
Hieraus ist ersichtlich, dass die Konstante den Wert haben muss.
Die Volumenfunktion hat also den Funktionsterm
Vergleicht man dies mit einem allgemeinen Ansatz für Sinus- und Kosinusfunktionen in der Form , so lässt sich für das Erstellen der Skizze folgendes Vorgehen ablesen:
- Die Schwingung verläuft Kosinusförmig, beginnt also mit einem Maximum
- Die Amplitude der Schwingung, also der Unterschied der Werte zwischen einem Maximum und einem Minumum beträgt 0,5, von der Mittelllage aus also jeweils 0,25 nach oben und unten
- Die Kosinusfunktion muss um 3,25 in positive -Richtung verschoben werden.
Geben Sie zunächst die Atemfrequenz der Testperson an. Die Atemstromstärke eines jüngeren Menschen, dessen Atemfrequenz um höher ist als die der bisher betrachteten Testperson, soll durch eine Sinusfunktion der Form mit und beschrieben werden. Ermitteln Sie den Wert von . (4 BE)
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Die Begriffe Frequenz und Periodendauer(hier in der Aufgabe als Dauer eines vollständigen Atemzyklus bezeichnet)werden vor allem in der Physik angewandt. Um das mathematische Modell zu verstehen, wird daher im Zwischentext der Abituraufgabe erklärt, wie Du die Atemfrequenz berechnen kannst.
Zusammenhang von Frequenz und Periode
Bei bekannter Periodendauer (hier Zyklusdauer) wird die Frequenz als Kehrwert der Periodendauer berechnet:
Etwas näher an der Alltagserfahrung ist die Berechnung nach der Vorschrift
So kennt man das z. B. von der Angabe vom Drehzahlmesser im Auto.
Atemfrequenz der Testperson
Die Atemfrequenz beträgt also .
Atemstromstärke eines jungen Menschen
Eine um erhöhte Atemfrequenz, hat den Wert . Dazu gehört eine Länge des Atemzyklus von min bzw. s.
Wert des Parameters b
Der Parameter in der Sinusfunktion hängt mit der Frequenz zusammen. Für erhält man die Standard-Sinusfunktion mit Periode . Im Falle von passen 2 Perioden auf die Länge , bei sind es 3 u.s.w. Für diesen direkt proportionalen Zusammenhang lässt sich der Ansatz
verwenden ( ist die Anzahl der Perioden). Folglich ist und konkret in der Aufgabe:
Lösungsalternative
Wenn Du Dich daran erinnern kannst, dass beim Einsetzen von in die Funktion eine vollständige Schwingung durchlaufen wird, dann besteht jetzt die Aufgabe es durch geschickte Wahl des Vorfaktors so einzurichten, dass in der neuen Zeit () bereits die ganze Schwingung zu durchlaufen.
Wähle , denn dann ist
und es ist so als ob bei der Zeit bereits im Argument des Sinus steht! Geometrisch entspricht dies einem Stauchen der Funktion in Richtung der -Achse.
Ausführlichkeit der Antwort
Für "Ermitteln" genügt es nicht, wenn Du als Antwort einfach nur schreibst! Es muss ein Ansatz erkennbar sein. Die hier vorgestellte ausführliche Herleitung dürfte den geforderten Rahmen jedoch etwas übersteigen.