Betrachtet wird die Pyramide mit ,und . Die Grundfläche ist ein Parallelogramm.
Weisen Sie nach, dass das Parallelogramm ein Rechteck ist. (2 BE)
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Hier musst du wissen, was die Eigenschaften eines Parallelogramms und eines Rechtecks sind. Außerdem solltest du wissen, wie man ein Skalarprodukt berechnen kann.
Du weißt bereits, dass das Viereck ein Parallelogramm ist. Deswegen sind die gegenüberliegenden Seiten sicher gleich lang. Die zusätzliche Eigenschaft eines Rechtecks sind rechte Winkel zwischen den Seiten. Das ist das, was du nachweisen musst. Dazu reicht es aus, dass es einen rechten Winkel gibt.
Warum reicht der Nachweis von einem rechten Winkel aus?
In einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Winkel gleich groß. Sobald ein Winkel dabei ist, ist auch der gegenüberliegende Winkel . Nach der Innenwinkelsumme im Viereck sind die beiden anderen Winkel zusammen dann groß. Nachdem diese beiden auch gleich groß sind, sind beide jeweils groß. Wenn also ein Winkel in einem Parallelogramm groß ist, sind auch alle anderen Winkel .
Einen rechten Winkel weißt du nach, indem du das Skalarprodukt zwischen den zwei Vektoren ausrechnest, die die anliegenden Seiten darstellen. Wenn es null ist, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander und der Winkel ist ein rechter Winkel.
Es gibt natürlich jetzt viele Seitenkombinationen, mit denen man das ausrechnen kann. Hier wird es exemplarisch mit den Strecken und berechnet:
Vektoren aufstellen
Denke an die Regel "Spitze minus Fuß".
Skalarprodukt berechnen
Der Winkel zwischen den Seiten und ist ein rechter Winkel und damit ist ein Rechteck.
Die Kante steht senkrecht auf der Grundfläche . Der Flächeninhalt der Grundfläche beträgt . Ermitteln Sie das Volumen der Pyramide. (3 BE)
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Bei dieser Teilaufgabe musst du die Formel für das Volumen von Pyramiden kennen. Du musst außerdem den Betrag eines Vektors berechnen können.
Die Grundfläche ist dir bereits gegeben, also musst du noch die Länge der Höhe ausrechnen. Die Höhe ist die Strecke , da sie senkrecht auf der Grundfläche steht. Berechne also zuerst den Vektor , indem du "Spitze minus Fuß" berechnest.
Berechne die Länge des Vektors für die Größe der Höhe. Ermittele dazu den Betrag des Vektors.
Du kannst durch teilweises Radizieren die Wurzel vereinfachen.
Setze die Werte in die Volumenformel ein.
Das Volumen der Pyramide beträgt Volumeneinheiten.