Abbildung 2 zeigt den Graphen einer in definierten Funktion . Sie beschreibt modellhaft das sich durch Zu- und Abfluss ändernde Volumen von Wasser in einem Becken in Abhängigkeit von der Zeit. Dabei bezeichnen die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und das Volumen in Kubikmetern.
Geben Sie mithilfe von Abbildung 2 jeweils näherungsweise das Volumen des Wassers fünf Stunden nach Beobachtungsbeginn sowie den Zeitraum an, in dem das Volumen mindestens beträgt. (2 BE)
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Volumen des Wassers nach 5 Stunden
Dafür musst du dir überlegen, wofür die angegebene Funktion steht. Sie gibt dir an jeder Stelle t, also für die jeweiligen Zeitpunkte, das Volumen des Wassers. Jetzt musst du die Angaben in die Sprache der Mathematik übersetzen:
Du willst das Volumen nach Stunden, also suchst du den -Wert der Funktion bei . Das kannst du näherungsweise am Graphen ablesen. Du stellst fest, dass das Volumen nach Stunden beträgt.
Zeitraum, in dem das Volumen mindestens beträgt
Du suchst also den Bereich, in dem der -Wert größer als ist. Das kannst du am Graphen ablesen: Zwischen und ist das Volumen größer als .
Bestimmen Sie anhand des Graphen der Funktion näherungsweise die momentane Änderungsrate des Wasservolumens zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn. (3 BE)
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Die momentane Änderungsrate entspricht der Steigung. Um die Steigung nach 2 Stunden, also an der Stelle , zu bestimmen, musst du die Tangente einzeichnen und deren Steigung bestimmen. Dazu machst du ein Steigungsdreieck.
Um die Steigung im Dreieck zu berechnen, teilst du den Unterschied in -Richtung durch den Unterschied in -Richtung.
Erläutern Sie, was es im Sachzusammenhang bedeutet, wenn für ein die Beziehung gilt. Entscheiden Sie mithilfe von Abbildung 2, ob für diese Beziehung gilt, und begründen Sie Ihre Entscheidung. (3 BE)
In einem anderen Becken ändert sich das Volumen des darin enthaltenen Wassers ebenfalls durch Zu- und Abfluss. Die momentane Änderungsrate des Volumens wird für modellhaft durch die in definierte Funktion beschrieben. Dabei ist die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und die momentane Änderungsrate des Volumens in .
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Bedeutung von für
Wenn dir nicht sofort klar ist, was diese Gleichung im Sachzusammenhang bedeutet, könntest du dir zum Beispiel einen konkreten Wert für herauspicken und überlegen, was das für diesen Wert bedeutet.
Wenn du beispielsweise verwendest, lautet die Gleichung . Das heißt, nach 7 Stunden sind weniger Wasser in dem Becken als nach 1 Stunde.
Oder allgemein formuliert: Sechs Stunden später sind genau weniger Wasser in dem Becken.
Trifft die Aussage für zu?
Dazu schreibst du als Erstes die Gleichung für auf:
Um zu überprüfen, ob die Gleichung stimmt, musst du und im Graphen ablesen:
und
Nun kannst du nachrechnen, ob die Gleichung erfüllt ist:
Die Gleichung ist also für nicht erfüllt.
Begründen Sie, dass die Funktionswerte von für positiv und für negativ sind. (4 BE)
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Wenn du nachweisen sollst, dass ein bestimmter Bereich positiv oder negativ ist, schaust du dir am besten erstmal die Stellen an, an denen sich diese Eigenschaft verändert. Das wären in diesem Fall die Nullstellen.
Du kannst ein t ausklammern.
Jetzt kannst du den Satz vom Nullprodukt verwenden und die Faktoren getrennt gleich setzen:
und
Da es sich um eine quadratische Gleichung handelt, verwendest du die Mitternachtsformel zum Auflösen.
Dadurch, dass du jetzt die Nullstellen kennst, kannst du dir sicher sein, dass sich in den Bereichen zwischen den Nullstellen keine Vorzeichenwechsel abspielen. Es reicht jetzt also, irgendeinen Wert in den Intervallen zwischen den Nullstellen auszurechnen, um festzustellen, ob das gesamte Intervall positiv oder negativ ist.
Für könnte man einsetzen:
Also ist der Bereich positiv.
Für könnte man einsetzen:
Also ist der Bereich negativ.
Erläutern Sie die Bedeutung des Werts des Integrals im Sachzusammenhang. Berechnen Sie das Volumen des Wassers, das sich 7,5 Stunden nach Beobachtungsbeginn im Becken befindet, wenn zu Beobachtungsbeginn Wasser im Becken waren. Begründen Sie, dass es sich hierbei um das maximale Wasservolumen im Beobachtungszeitraum handelt. (6 BE)
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Bedeutung des Werts des Integrals
Überlege dir dazu, wofür die Funktion steht. Sie stellt hier die Änderungsrate des Zu- bzw. Abflusses von Wasser dar. Das Wort Änderungsrate zeigt dir, dass es sich hier um die Ableitung der Funktion handelt, die dir den Zu- und Abfluss gibt.
Das Integral liefert dir immer die Flächenbilanz der ursprünglichen Funktion. Hier liefert es dir also die Bilanz zwischen Zu- und Abfluss. Das Integral geht von bis . Zusammengefasst steht es daher für insgesamt zwischen den Zeitpunkten und zu- bzw. abgeflossene Wassermenge (je nach Vorzeichen).
Volumen des Wassers Stunden nach Beobachtungsbeginn
Das Integral berechnet dir, wie du gerade überlegt hast, das seit Beginn bis zum Zeitpunkt zugeflossene Volumen, wenn du (Beginn) und (Ende) setzt. Berechne nun das Integral:
Das ist die zugeflossene Wassermenge. Die gesamte Wassermenge zu dem Zeitpunkt ist die Anfangswassermenge und die zugeflossene Wassermenge:
Die Wassermenge zu dem Zeitpunkt beträgt ungefähr .
Begründung für maximales Wasservolumen
Nach dem Zeitpunkt ist wie du in der Teilaufgabe d) gezeigt hast. Also ist die Ableitung danach negativ, das heißt, dass die Wassermenge danach nicht mehr zu- sondern abnimmt. Vorher ist die Ableitung positiv, also steigt das Volumen davor. Deswegen ist an der Stelle der höchste Wert erreicht.