2.0 Unten ist die Vorlage für ein Firmenlogo in Form eines Fisches skizziert. Die Raute mit dem Diagonalenschnittpunkt ist Grundlage für den Fischkörper, der durch den Kreisbogen um den Mittelpunkt , den Kreisbogen um den Mittelpunkt und die Strecke begrenzt wird. Das gleichschenklige Trapez bildet die Schwanzflosse.
Es gilt: cm; cm; cm; cm; . Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
2.1 Berechnen Sie die Länge der Strecke und zeigen Sie, dass für das Maß des Winkels gilt: .
[Ergebnis: cm]
2.2 Zeichnen Sie die Vorlage des Firmenlogos.
2.3 Für die Strecke gilt: . Berechnen Sie die Längen der Strecken und .
[Ergebnisse: cm ; cm]
2.4 Zur farbigen Gestaltung werden das Dreieck und die Figur, die durch die Kreisbögen und sowie die Strecke begrenzt wird, silber eingefärbt. Berechnen Sie den Inhalt der silber eingefärbten Fläche.
2.5 Bestimmen Sie rechnerisch den Umfang der Vorlage.
[Teilergebnis: ; Ergebnis: cm]
2.6 Das Firmenlogo wird später auf T-Shirts aufgenäht. Man geht davon aus, dass der benötigte Faden um länger als der Umfang der Vorlage ist. Auf einer Rolle befinden sich m Faden. Berechnen Sie, wie viele Firmenlogos mit einer Rolle höchstens aufgenäht werden können.
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2.1 Zur Berechnung der Streckenlänge kannst du den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck verwenden. In diesem Dreieck ist die Hypotenuse der Länge cm, da der rechte Winkel beim Punkt liegt. Beachtest du, dass cm gegeben ist und bezeichnen , so gilt allgemein:
Setzt du nun die konkreten Zahlenwerte ein und löst die Gleichung nach auf, so erhältst du:
Ziehst du nun aus die Wurzel, so erhältst du cm. Dabei solltest die Lösung mit dem negativen Vorzeichen vernachlässigen, da eine negative Streckenlänge im Anwendungskontext sinnlos ist.
Um den angegeben Winkel zu berechnen, gibt es zwei Möglichkeiten:
Variante 1: Verwendung der Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks
Der Abbildung kannst du entnehmen, dass die Dreiecke und gleichschenklig sind. Du weißt, dass in gleichschenkligen Dreiecken die beiden Basiswinkel immer den Wert annehmen. Also kannst du berechnen:
Variante 2: Verwende den Kosinus
Falls du die Argumentation mithilfe der gleichschenkligen Dreiecke in Variante 1 nicht direkt gesehen hast, kannst du den gesuchten Winkel natürlich auch berechnen. Dazu betrachten wir das Dreieck . Den Winkel in diesem Dreieck kannst du zum Beispiel über den Kosinus berechnen:
Wendest du nun die Umkehrfunktion des Kosinus an, so erhältst du für den Winkel :
Insgesamt gilt nun
2.2 Zeichnung einfügen
2.3 Um die Streckenlänge zu berechnen, musst du bei dieser Teilaufgabe den Strahlensatz verwenden. Es gilt die Verhältnisgleichung:
Wenn du diese Gleichung nun nach der gesuchten Streckenlänge umstellst, so erhältst du:
Die Berechnung der zweiten Streckenlänge ist etwas komplizierter, denn neben dem Strahlensatz musst du hier auch den Satz des Pythagoras verwenden.
Mit dem Satz des Pythagoras kannst du zunächst die Streckenlänge berechnen. Im Dreieck gilt nämlich:
Da cm und cm gegeben sind, kannst du dies direkt einsetzen und erhältst:
Ziehst du nun die Wurzel und vernachlässigst wie oben die Lösung mit dem negativen Vorzeichen, so gilt:
Nun sollte man feststellen, dass nach dem Strahlensatz die Verhältnisgleichung
gilt. Diese kannst du direkt nach der einzigen noch unbekannten Größe auflösen und gleichzeitig dein oben berechnetes Ergebnis für einsetzen:
Mit diesen beiden Ergebnissen berechnet sich die gesuchte Strecke zu:
2.4 Wir wollen zunächst den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen. Dessen Grundseite ist (indirekt) gegeben, denn nach Aufgabe 2.3 gilt
Die Höhe hast du in Aufgabe 2.3 berechnet. Es ist . Der Flächeninhalt ist also gegeben durch:
Jetzt musst du noch den Flächeninhalt der durch die Kreisbögen und sowie der Strecke begrenzten Fläche berechnen.
Dazu berechnet man zunächst die Fläche des Kreissektors mit Mittelpunkt und Radius . Der für diese Rechnung benötigte Winkel ist . Dann ist der Flächeninhalt des Kreissektors gegeben durch:
Das gleiche machst du nun auch für den Kreissektor mit Mittelpunkt und Radius . Wir erhalten erneut:
Bei diesem Vorgehen wird nun aber der Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks doppelt berechnet. Dessen Flächeninhalt berechnet sich zu
und muss einmal abgezogen werden. Insgesamt findest du damit also für die Fläche der beschriebenen Figur:
2.5 Der Abbildung kannst du entnehmen, dass für den Umfang allgemein gilt:
Die einzige Größe, die in dieser Formel noch nicht gegeben oder berechnet wurde, ist der Winkel . Ihn zu berechnen funktioniert mithilfe des Kosinussatzes wie folgt:
Wir betrachten das Dreieck . Der Kosinussatz lautet:
Du weißt bereits, dass und ist. Weiter ist , denn die Strecke ist der Radius des Kreissektors und damit ist die Länge . Setzen wir diese Zahlenwerte in die Formel von oben ein und lösen nach auf, so erhalten wir:
Für unseren gesuchten Winkel gilt schließlich:
Damit kannst du nun den Umfang mithilfe der oben aufgestellten Formel berechnen. Der Umfang ist:
2.6 Der benötigte Faden ist gemäß Angabe um größer als der Umfang der Vorlage, das bedeutet, die benötigte Fadenlänge ist:
Auf einer Rolle befinden sich m Faden. In cm entspricht dies einer Länge von
Um die Anzahl der Logos, die gedruckt werden können, zu berechnen, musst du nun den folgenden Quotienten berechnen:
Insgesamt können also Logos mit dem zur Verfügung stehenden Faden genäht werden.