Es ist folgende Funktionenschar gegeben:
In den Teilaufgaben findest du vieles, das du für diese Funktion berechnen kannst.
Suche dir heraus, was du üben möchtest.
Die Teilaufgaben sind in einer logischen Reihenfolge angeordnet, daher wird in späteren Aufgaben auf Ergebnisse von früher zurückgegriffen.
Wenn dir nicht klar ist, woher diese Ergebnisse kommen, dann rechne am besten die zugehörige Teilaufgabe davor nach.
Definitionsbereich bestimmen
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Hier darf der Wert unter Wurzel nicht negativ werden:
Hier musst du für den Definitionsbereich eine Fallunterscheidung machen:
Fall 1:
Die positiven Werte von x sind ausgeschlossen.
Fall 2:
Die negativen Werte sind ausgeschlossen.
Fall 3:
Die Wurzel ist für alle x gleich 0.
Grenzwertbetrachtungen: Bestimme die Grenzwerte an allen Grenzen des Definitionsbereichs.
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Da es einen Parameter gibt, ist eine Fallunterscheidung nötig.
Fall 1:
Fall 2:
Fall 3:
Asymptoten bestimmen
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Waagerechte Asymptoten
Fall 1:
Eine waagerechte Asymptote ist .
Fall 2:
Eine waagerechte Asymptote ist .
Fall 3:
Die Grenzwerte existieren zwar (siehe Teilaufgabe b), aber es gibt keine Asymptote, da die Funktion überall den Funktionswert 1 hat und sich ihm nicht bloß annähert.
Senkrechte Asymptoten
Senkrechte Asymptoten gibt es an den Stellen der Definitionslücken. Solche gibt es hier nicht.
Nullstellen bestimmen
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Die e-Funktion hat die Wertemenge , das heißt, sie ist im ganzen Definitionsbereich positv und schneidet nie die x-Achse. Da die Funktion keine Verschiebung der e-Funktion nach oben oder unten bewirkt, hat sie ebenfalls keine Nullstellen.
Symmetrieverhalten überprüfen
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Fälle 1 und 2:
Die Funktion ist hier nur auf jeweils einer Hälfte der x-Achse definiert. Deshalb kann sie nicht symmetrisch zur y-Achse oder zum Urpsrung sein.
Fall 3:
ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Bemerkung: Für gilt auch Punktsymmetrie zum Punkt , aber das nur zur Information
Monotonieverhalten bestimmen
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1. Ableitung
Für :
Dabei haben wir ist die Kettenregel verwendet.
Für gilt:
ist konstant, also ist gleich null.
Monotonieverhalten
Fall 1:
Hier müssen wir beachten, dass der Definitionsbereich nur negative -Werte enthält.
Also ist für streng monoton wachsend.
Fall 2:
Hier liegen nur positive -Werte im Definitionsbereich.
Also ist für streng monoton fallend.
Fall 3:
Für ist konstant und somit sowohl monoton fallend als auch wachsend.
Krümmungsverhalten bestimmen
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2. Ableitung
Hier ist für die 2. Ableitung die Quotientenregel und die Kettenregel nötig.
Für gilt:
Krümmungsverhalten
Fall 1:
Für ist linksgekrümmt.
Fall 2:
Für ist linksgekrümmt.
Fall 3:
Für ist nicht gekrümmt.
Extremwerte bestimmen
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Nullstellen der ersten Ableitung
Die erste Ableitung ist für alle ungleich 0.
Für aber ist die Ableitung konstant.
Deshalb gibt es keine lokalen Extrema.
Funktionswerte an den Grenzen des Definitionsbereichs
An eingeschlossenen Definitionsgrenzen kann eine Funktion auch ein lokales Maximum oder Minimum annehmen. Das ist hier der Fall. Deshalb gibt es einen Hochpunkt, obwohl der Funktionsgraph streng monoton steigt/fällt.
HP für
kein Extremum für
Wertebereich bestimmen
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Was du weißt:
Aus den Informationen kannst du ablesen, das sich die Funktion zwischen 0 und 1 bewegt. Die 1 wird angenommen, die 0 nicht.
keine Nullstellen
Bemerkung: Die Menge enthält als einzigen Punkt die 1; sie ist kein Intervall. Aber konstante Funktionen nehmen eben nur einen -Wert an.
Tangente bestimmen:
Bestimme die Tangente an den Funktionsgraphen von , die für auch durch den Punkt geht und für durch den Punkt .
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1. Tangente:
Den gegebenen Punkt kannst du einsetzen.
Außerdem gilt für den Berührpunkt an der Funktion:
Löse dann nach dem Einsetzen nach auf, um den Berührpunkt zu erhalten.
Umformung: :\left(\frac{-k \cdot e^{-\sqrt{kx_0}}}{2\sqrt{kx_0}}\right)
Umformung: ^2
Umformung: \cdot k^2
Hier kannst du jetzt die Mitternachtsformel anwenden:
Betrachte jetzt die Klammer.
Die Funktion ist linksgekrümmt. Es kann daher nur einen Berührpunkt geben.
Der liegt auch näher an der 0 als die Nullstelle der Tangente, weil auch die Tangente streng monoton wächst.
Du nimmst also das Minuszeichen, um weiterzurechnen (beachte, dass hier ist).
Für dieses erhältst du nun die Steigung und mit der obigen Gleichung den y-Achsenabschnitt.
Du erhältst als Tangentengleichung
2. Tangente: k > 0
Hier kannst du die Tangente auch wieder normal ausrechnen.
Es fällt jetzt aber leichter, da du nur dieselben Schritte erneut ausführen musst und sich dabei nur Vorzeichen umdrehen, da jetzt mit eingesetzt gilt.
Du erhältst schließlich
"Schönere" Form der Lösung
Wenn man erkennt, dass
und
ist, erhält man die schöneren Lösungen
und .
Stammfunktion I:
Zeige, dass
eine Stammfunktion von für ist.
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Um eine Stammfunktion zu finden, musst du eigentlich integrieren.
Hast du aber eine Funktion gegeben von der du nur zeigen musst, dass sie eine Stammfunktion ist, dann reicht es diese Funktion abzuleiten. Siehe dazu den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung .
Mit Hilfe der Produktregel und ein bisschen umformen erhältst du die Lösung:
Die Ableitung ist die Funktion und damit ist auch eine Stammfunktion.
Stammfunktion II:
Bestimme durch Rechnung die Stammfunktion von .
Achtung, diese Integration ist etwas schwieriger und erfordert mehr Überlegungen und Rechenschritte, als in der Schule normalerweise verlangt werden. Wer allerdings ein paar Tricks beim Integrieren ausprobieren/lernen will kann die Aufgabe gerne bearbeiten oder sich die Lösung anschauen.
Für alle Anderen reicht es, die Aufgabe "Stammfunktion I" zu bearbeiten, die normalem Schulniveau entspricht.
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Es gilt, das Integral zu bestimmen. Dafür sind einige Schritte nötig.
1. Substitution
Du substituierst:
Du nutzt hier aus, dass sich die Wurzel beim Ableiten reproduziert, also als Funktion wieder auftaucht.
Der Ausdruck beschreibt die Ableitung von nach .
Ersetze die Ausdrücke im Integral.
Das sieht schon schöner aus. Jetzt kannst du integrieren.
2. Partielle Integration
Du integrierst partiell mit:
Jetzt ist das Integralzeichen weg. Du bist fast am Ziel.
3. Resubstitution
Nun musst du nur noch resubstituieren…
…und bist fertig.
Flächenberechnung I:
Berechne die Fläche, die der Funktionsgraph mit den Koordinatenachsen einschließt.
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Erster Fall:
Die Funktion ist auf definiert und positiv.
Der Grenzwert ist 0, da die -Funktion schneller steigt und fällt, als jedes Polynom.
Zweiter Fall:
Der Grenzwert ist 0, da die -Funktion schneller steigt und fällt, als jedes Polynom.
Dritter Fall:
Für ist die Funktion konstant 1.
Flächenberechnung II:
Berechne die Fläche die von der x-Achse, den Geraden und dem Graphen von eingeschlossen wird.
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Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse und zusammengesetzt für aus und für aus .
Überlege dir das am besten anhand einer Skizze
Graphen zeichnen:
Zeichne folgende Graphen für in ein oder mehrere Koordinatensysteme:
mit seinen Asymptoten und
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Graphen zeichnen
Bemerkungen:
Die Funktionsgraphen sind mit durchgezogenen Linien eingezeichnet,
die Ableitungen mit lang gestrichelten Linien,
die Stammfunktionen mit kurz gestrichelten Linien,
die Tangenten mit abwechselnd Punkten und Strichen,
und die Asymptote ist lila gepunktet.