Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (kurz HDI) oder Fundamentalsatz der Analysis führt die Berechnung bestimmter Integrale auf die Berechnung unbestimmter Integrale (also auf die Ermittlung von Stammfunktionen) zurück.
Video zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
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HDI in Worten erklärt
Man kann also den Wert eines bestimmten Integrals einer Funktion berechnen, indem man vom Funktionswert einer Stammfunktion von an der oberen Integrationsgrenze den Funktionswert dieser Stammfunktion an der unteren Integrationsgrenze subtrahiert.
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Da sich zwei Stammfunktionen nach Definition nur durch eine Konstante unterscheiden, hebt sich diese Konstante bei der Differenz zweier Funktionswerte derselben Stammfunktion auf.
Die Konstante ist in diesem Zusammenhang also unerheblich, weshalb eine beliebige aller Stammfunktionen ausgewählt werden kann.
Weitere Version des HDI
Den Hauptsatz der Differentialrechnung gibt es auch noch in einer anderen, äquivalenten Darstellung. Manchmal ist auch folgende Version des HDI nützlich:
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Angenommen es gilt Version 1:
Dann gilt für folgenden Ausdruck:
Hier wurde Version 1 eingesetzt.
Dann wurden mithilfe der Ableitungsregel für Differenzen und jeweils abgeleitet.
Hierbei ist die Ableitung , da nicht von abhängt.
Hier wurde eingesetzt, dass eine Stammfunktion zu ist.
Angenommen es gilt Version 2:
Dann ist die Funktion eine Stammfunktion zu
.
Dann gilt für den folgenden Ausdruck:
Hier wurde eingesetzt, also und .
Wenn man von einer Zahl bis über eine Funktion integriert und dann das Integral über dieselbe Funktion von nach abzieht, kann man genauso das Integral über die Funktion von nach berechnen. Das visualisiert folgendes Bild:
Man erkennt an dieser Version recht gut, dass es unendlich viele Stammfunktionen einer Funktion gibt, die sich jeweils durch eine Konstante unterscheiden.
So gibt eine Stammfunktion zu , denn
(wobei eine beliebige, reelle Konstante ist).
Siehe auch hier: Mathe für Nicht-Freaks