Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenusenlänge und der zugehörigen Höhe . Gibt es mehrere Lösungen?
Lösung anzeigen
Konstruktion des Thaleskreises
Zeichne eine Strecke mit der Länge .
Konstruiere die Mittelsenkrechte zu den Punkten und . Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit der Strecke ist der Mittelpunkt von und .
Zeichne den Thaleskreis, indem du einen Kreis mit Mittelpunkt durch und ziehst.
Konstruktion einer Parallelen
Nun musst du eine Parallele mit Abstand zur Strecke konstruieren. Zeichne dafür zuerst einen Punkt auf der Mittelsenkrechten , sodass der Abstand vom Mittelpunkt zu beträgt.
Ziehe nun einen Kreis mit Kreismittelpunkt und beliebigem Radius. Finde die Schnittpunkte und des Kreises mit der Mittelsenkrechten .
Wie oben kannst du nun die Mittelsenkrechte zu und konstruieren. Dadurch erhältst du eine zu parallele Gerade mit Abstand .
Konstruktion des rechtwinkligen Dreiecks
Der Schnittpunkt der parallelen Geraden mit dem Thaleskreis liefert die gesuchte Ecke des Dreiecks . Durch Verbinden des Punktes mit den Punkten und erhältst du das gesuchte rechtwinklige Dreieck mit Seitenlänge und Höhe .
Wie du oben siehst, gibt es einen zweiten Schnittpunkt der parallelen Geraden mit dem Thaleskreis. Dadurch erhältst du eine zweite Lösung (orange).
Lösungen (lila) und (blau) erhältst du durch Spiegelung der Eckpunkte an der Strecke .
Alle 4 rechtwinkligen Dreiecke erfüllen die Anforderungen der Aufgabenstellung, da sie die Höhe und Seitenlänge haben.