Die Determinante ist eine Eigenschaft von quadratischen Matrizen und ist gegeben durch eine reelle Zahl.
Geläufige Schreibweise für die Determinante einer Matrix sind:
Determinante berechnen
Es gibt verschiedene Arten eine Determinante zu berechnen, für quadratische Matrizen der Größe zum Beispiel die Regel von Sarrus oder allgemein den Laplaceschen Entwicklungssatz. Diese findest du in dem Artikel Determinante berechnen.
Eigenschaften
- Die Determinante einer -Matrix hat die folgenden Eigenschaften:
Man kann also einen Faktor aus der Determinante „ausklammern“, indem man es „hoch “ nimmt.
Beispiel
- Hat eine Zeile oder eine Spalte von nur Nullen
Beispiel
nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz: ,
Entwicklung nach 2.Spalte
- Sind die Zeilen oder die Spalten von A linear abhängig (wenn man sie als Vektoren sieht)
Beispiel
nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz: ,
Entwicklung nach 3.Spalte
- Ist eine Diagonalmatrix mit der Form
Beispiel
mit der Regel von Sarrus oder der Laplaceschen Entwicklung folgt
- Ist eine obere/untere Dreiecksmatrix (nur die Zahlen im oberen/unteren Dreieck )
Beispiel
nach der Regel von Sarrus:
Wozu braucht man Determinanten?
Determinante sind für die Mathematik sehr nützlich. Man kann mit ihnen
aber vor allem helfen sie, die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems zu untersuchen.
Gilt für eine - Matrix , so hat jedes lineare Gleichungssystem, welches als Koeffizientenmatrix hat, eine eindeutige Lösung.
Warum funktioniert das?
- Aus den Eigenschaften der Determinante folgt, dass die Determinante einer Matrix und die Determinante von (die Matrix in Zeilenstufenform) gleich sind.
- ist also gleichbedeutend mit Zeilenstufenform von hat keine Nullzeilen.
Eingebetteter Serlo-Inhalt
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