Eine Logarithmusfunktion ist eine Abbildung der Form
wobei und gilt.
heißt Basis des Logarithmus.
Der Logarithmus bezeichnet die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion, sodass sich die Funktionen
gegenseitig aufheben.
Eigenschaften
- Der Definitionsbereich ist , d.h. für dürfen nur positive, reelle Zahlen eingesetzt werden.
- Der Wertebereich ist ganz .
- Alle Logarithmusfunktionen haben die Nullstelle .
- Logarithmusfunktionen haben die -Achse als senkrechte Asymptote, genauer gilt: und und
- Logarithmusfunktionen sind stets monoton, genauer gilt: ist streng monoton steigend. ist streng monoton fallend.
Diese Eigenschaften lassen sich leicht am Graphen der Funktion ablesen:
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Benutze den Schieberegler, um die verschiedenen Eigenschaften in Abhängigkeit von der Basis zu beobachten.
Rechenregeln
Folgende Umformungen sind praktisch, um mit Logarithmen zu rechnen.
Beziehung zu anderen Funktionen
Umkehrfunktion
Die Umkehrfunktion einer Logarithmusfunktion ist eine Exponentialfunktion. Für ist die Umkehrfunktion gegeben durch:
Durch diese Umkehrfunktion wird auch deutlich, warum sich der Definitionsbereich einer Logarithmusfunktion auf positive Zahlen beschränkt. Schließlich gibt es für ein b>0 kein x, dass
negativ werden lässt.
Basiswechsel
Jede Logarithmusfunktion zu einer beliebigen Basis (mit , ) kann in eine Logarithmusfunktion mit einer anderen Basis (mit , ) umgewandelt werden und andersrum. Die Formel lautet:
Warum gilt das?
Aus den Logarithmusregeln stammt die Rechenregel . Wenn wir auf diese Gleichung auf beiden Seiten die Logarithmusfunktion anwenden, erhalten wir:
Umformung: \log_a
Eine weitere Logarithmusregel besagt . Wende diese Regel auf der linken Seite an.
Umformung: :\log_a\left(b\right)
Wenn wir nun noch durch teilen, erhalten wir die gesuchte Formel.
Natürliche Logarithmusfunktion
Als Sonderfall eines Basiswechsels kann jede Logarithmusfunktion auf eine natürliche Logarithmusfunktion (auch: -Funktion), d.h. eine Logarithmusfunktion mit Basis , der Eulerschen Zahl, zurückgeführt werden:
Diese Beziehung ist unter anderem wichtig zur Berechnung der Ableitung und Stammfunktion. Außerdem erkennt man hier, dass jede beliebige Logarithmusfunktion nur ein Vielfaches der -Funktion ist.
Erste Ableitung
Die erste Ableitung von ist gegeben durch:
Herleitung der ersten Ableitung
Wegen genügt es, die erste Ableitung der -Funktion (siehe hier) mit dem Vorfaktor zu multiplizieren:
Integral
Das erste Integral bzw. eine Stammfunktion einer Logarithmusfunktion ist:
Herleitung der Stammfunktion
Wegen genügt es, die Stammfunktion der -Funktion (siehe hier) mit dem Vorfaktor zu multiplizieren: