Die Mächtigkeit einer Menge ist die Anzahl ihrer Elemente. Man schreibt für die Mächtigkeit einer Menge entweder oder .
Grundlagen zur Mächtigkeit
Gleichmächtig
Die Menge aller einstelligen Primzahlen besitzt Elemente. Es ist damit:
Die Menge besitzt ebenso Elemente. Wenn zwei Mengen, so wie und gleich viele Elemente besitzen, also gilt, nennt man die Mengen gleichmächtig.
Unendlich große Mengen
Falls unendlich viele Elemente hat, ist die Mächtigkeit unendlich (). So ist die Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen unendlich und wir schreiben .
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Unendliche große Mengen wie die Zahlenbereiche haben die gleiche Mächtigkeit . Trotzdem sind die Mengen nicht gleich und benötigen eine Unterscheidung.
Man nennt Zahlenbereiche wie abzählbar, da man ihre Elemente systematisch abzählen kann.
kann man so nicht systematisch abzählen, weshalb der Zahlenbereich überabzählbar genannt wird.
Beispiele
- , da eine Menge ein Element nicht mehrmals enthalten kann!
Mächtigkeit in der Wahrscheinlichkeit
Der Begriff der Mächtigkeit einer Menge wird unter anderem in der Stochastik verwendet. Dort fasst man alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments in die Menge „Ergebnisraum“ zusammen. Die Mächtigkeit des Ergebnisraums ist damit die Anzahl aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments.
Laplace-Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit im Laplace-Experiment ist gegeben durch die Mächtigkeiten der Ereignis- und Ergebnismenge.
Das Ereignis beim Würfeln mit einem Würfel besitzt die Wahrscheinlichkeit:
Rechenregeln
- . Vergleiche dazu: Mengenlehre.
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Wenn die Mächtigkeit der vereinigten Menge berechnet wird, könnte man sich das vorstellen, wie wenn die Flächen der Mengen im Bild zusammengelegt wird. Hierbei hier die Fläche doppelt mitgezählt, weshalb sie einmal abgezogen werden muss.
- . Vergleiche dazu: kartesisches Produkt.
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Für jedes Element der Menge , wie im Bild die , gibt es Elemente aus , mit der Paare gebildet werden können.
Die Gesamtzahl der Möglichkeiten ist damit , im Beispiel rechts wäre
Potenzmenge
Die Mächtigkeit der Potenzmenge einer Menge , ist: . Ein Beispiel für eine Potenzmenge ist der Ereignisraum.
Eingebetteter Serlo-Inhalt
Quellen
- https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Karte_Deutsche_Bundesl%C3%A4nder_(Bezeichner).svg