Zerlege folgende Funktionen soweit möglich in Linearfaktoren.
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In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.
Berechne dafür erstmal die Nullstellen.
Nullstellenberechnung
Da es sich um eine Funktion zweiten Grades handelt, berechnet man diese mit der Mitternachtsformel.
Vereinfache unter der Wurzel.
1) Fall:
2) Fall:
Darstellung in Linearfaktorzerlegung
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In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.
Berechne dafür erstmal die Nullstellen.
Nullstellenberechnung
Hier brauchst du die Polynomdivision. Errate die erste Nullstelle
ist eine Nullstelle von
Klammere die Nullstelle mithilfe der Polynomdivision aus.
Versuche nun noch die Nullstellen von zu bestimmen.
Umformung: -4
hat also keine Nullstellen.
hat also keine Linearfaktordarstellung.
Die Funktion ist zerlegbar in eine Faktordarstellung mit dem Restglied :
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In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.
Berechne dafür erstmal die Nullstellen.
Nullstellenberechnung
Da es sich um eine Funktion zweiten Grades handelt, wird hier die Mitternachtsformel verwendet.
Vereinfache unter der Wurzel.
Ziehe die Wurzel.
1) Fall:
2) Fall:
Darstellung in Linearfaktorzerlegung
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In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.
Berechne dafür erstmal die Nullstellen.
Nullstellenberechnung
Klammere aus.
Teile durch , damit die Rechung später einfacher wird.
Nutze das Verfahren der Substitution, da es sich um eine Funktion der Form handelt.
Substitution:
Wende die Mitternachtsformel an.
Vereinfache unter der Wurzel.
Vereinfache weiter.
1) Fall:
2) Fall:
Rücksubstitution:
Darstellung in Linearfaktorzerlegung
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In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.
Berechne dafür erstmal die Nullstellen.
Nullstellenberechnung
Klammere aus.
Umformung: \cdot2
Wende die Polynomdivision an:
Errate die erste Nullstelle. Hier: , denn:
Führe die Polynomdivision durch. Dividiere durch :
Wir erhalten eine neue Funktion
Um die Nullstellen von zu berechnen, musst du erneut die Polynomdivision anwenden:
Errate wieder eine Nullstelle. Hier: , denn:
Führe die Polynomdivision durch. Dividiere durch :
Nun musst du noch die Nullstellen von berechnen. Verwende dafür die Mitternachtsformel.
Vereinfache.
Fall: +
Fall: -
Du hast also folgende Nullstellen berechnet:
ist eine doppelte Nullstelle und und sind einfache Nullstellen.
Darstellung in Linearfaktorzerlegung
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In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.
Berechne dafür erstmal die Nullstellen.
Nullstellenberechnung
Klammere aus.
Umformung: :4
ist erste Nullstelle
Berechne nun noch die Nullstellen von .
Hier brauchst du die Polynomdivision.
Errate eine Nullstelle. Hier: , denn es gilt:
Führe die Polynomdivision durch:
Forme nun durch anwenden der 1.Binomischen Formel um:
(Alternativ könnte man die Nullstellen auch mit der Mitternachtsformel berechnen.)
Darstellung in Linearfaktorzerlegung
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In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.
Berechne dafür erstmal die Nullstellen.
Nullstellenberechnung
Hier brauchst du die Polynomdivision.
Errate die erste Nullstelle. Hier: , denn:
Führe die Polynomdivision durch:
Dir bleibt also noch der Teil übrig, welcher keine Nullstellen besitzt.
hat also keine Linearfaktordarstellung. Die Funktion lässt sich nur in eine Faktordarstellung mit dem Restglied zerlegen:
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In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.
Hier kann man die Linearfaktorzerlegung bestimmen ohne vorher explizit die Nullstellen zu berechnen.
Klammere aus.
Wende die 3.binomische Formel an.
Die Linearfaktorzerlegung von ist also:
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In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.
Berechne dafür erstmal die Nullstellen.
Nullstellenberechnung
Hier brauchst du die Polynomdivision.
Finde die erste Nullstelle durch probieren heraus.
Hier , denn:
Führe nun die Polynomdivision durch:
Nun musst du noch die Nullstellen von berechnen.
Hierfür brauchst du noch einmal die Polynomdivision.
Finde eine Nullstelle durch probieren heraus.
Hier , denn:
Führe nun die Polynomdivision durch:
Nun musst du noch die Nullstellen von berechnen.
Benutze hierfür die Mitternachtsformel, da es sich um eine quadratische Funktion handelt.
Berechne die Wurzel.
1) Fall:
2) Fall:
Die Funktion hat also die Nullstellen: , , und .
Darstellung in Linearfaktorzerlegung
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In dieser Aufgabe sollst du die Funktion in Linearfaktoren zerlegen.
Berechne dafür erstmal die Nullstellen.
Nullstellenberechnung
Hier brauchst du die Polynomdivision.
Finde eine Nullstelle durch probieren heraus.
Hier , denn:
Führe nun die Polynomdivision durch:
besitzt keine Nullstellen.
hat also keine Linearfaktordarstellung. Die Funktion lässt sich nur in eine Faktordarstellung mit dem Restglied zerlegen: