Bestimme Definitionsbereich, Nullstellen, 1. und 2. Ableitung der folgenden Funktion:
;
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Definitionslücke des Bruchs
Der Nenner des Bruches darf nicht gleich 0 werden.
Definitionslücke bei:
Definitionslücken des Logarithmus
Der Logarithmus muss immer größer als 0 sein.
Nun musst du eine Fallunterscheidung machen für x größer oder kleiner Null:
- Fall
- Fall und strenger noch nach Annahme
Nullstellen
Nun musst du die Nullstellen bestimmen. Ein Produkt wird 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.
Also wird die erste gleich Klammer 0 gesetzt.
Umformung: +\ x
kein Element des Definitionsbereich, daher keine Nullstelle .
Nun wird die zweite Klammer gleich 0 gesetzt.
Der ln ist 0, wenn das Innere der Klammer gleich 1 ist.
Da der Bruch nie gleich 0 sein kann, gibt es keine Nullstelle für .
Also besitzt die Funktion keine Nullstelle.
Ableitung
Nun musst du die Ableitungen ausrechnen
1. Ableitung:
Da es sich um ein Produkt handelt, kann hier die Produktregel angewandt werden. Dazu und getrennt ableiten.
Für muss mit der Ableitung vom Inneren des nachdifferenziert werden.
Terme multiplizieren
Nun kann die Produktregel angewendet werden.
Die hinteren beiden Terme multiplizieren
Im Zähler -1 und im Nenner x ausklammern
kürzen
2. Ableitung:
Als erstes den Term der ersten Ableitung in eine geeignetere Form bringen.
Im ln 1 mit x erweitern und dann davon subtrahieren
ableiten:
Den ln mit der Kettenregel ableiten und dabei für das Nachdifferenzieren die Quotientenregel verwenden, wobei gilt: . Im Anschluss ebenfalls mit der Quotientenregel ableiten, wobei gilt: .
In der Klammer mit x kürzen und dann multiplizieren.
Ersten Zähler vereinfachen und im Nenner x ausklammern.
Alle Brüche auf den Hauptnenner erweitern.
Brüche addieren.