Ein Werkstück besteht aus einem Halbzylinder und einer quadratischen Pyramide ( = 16 cm ; = 20 cm).
Berechne das Volumen des Werkstücks. (4 Punkte)
Hinweis: Die Skizze ist nicht maßstabgetreu.
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Videoerklärung
{
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}Lösung zur Aufgabe 4
Für die Lösung benötigst du Kenntnisse über die Volumenberechnung. Du solltest die Formel für das Volumen einer Pyramide und eines Zylinders kennen. Zusätzlich brauchst du den Satz des Pythagoras.
Das Volumen des Werkstücks setzt sich aus zwei Teilen zusammen, die du nacheinander ausrechnen kannst.
Volumen der Pyramide
Berechne zuerst das Volumen der Pyramide:
Die Höhe ist bereits angegeben. Du benötigst noch die Grundfläche und dafür die Länge einer Grundseite. Die fehlende Seite kannst du mit Hilfe des Satz des Pythagoras ausrechnen.
Du verwendest diesen im orangen rechtwinkligen Dreieck, um die Länge der lilanen Strecke zu bestimmen. ist die Hypotenuse, und sind die beiden Katheten.
Umformung: -h_P^2
Löse nach x auf.
Umformung: \sqrt{(})
Ziehe die Wurzel.
Setze die Werte ein und berechne.
Berechne aus dem Ergebnis die Seitenlänge (l) der Grundfläche, indem du x verdoppelst.
Bild zur Veranschaulichung
Setze für den Wert cm ein.
Berechne die Grundfläche (G) der Pyramide. Da es sich um ein Quadrat handelt, kannst du die Seitenlänge quadrieren.
Berechne nun das Volumen der Pyramide (), indem du in die berechneten Werte in die Formel einsetzt.
Volumen des Zylinders
Der zweite Teil des Werkstücks ist ein halber Zylinder. Die Volumenformel für einen ganzen Zylinder ist .
Du kannst auf dem Bild erkennen, dass der Radius entspricht und somit cm lang ist und die Höhe entspricht, also cm lang ist.
Diese Werte kannst du nun in die Formel einsetzen:
Teile nun das Ergebnis durch 2, um das Volmen des Halbzylinders () zu erhalten.
Addiere das Pyramiden- und das Halbzylindervolumen , um das Gesamtvolumen zu erhalten.
Das Werkstück ist insgesamt groß.