Die Skizze zeigt ein vereinfachtes Modell einer Windkraftanlage. Die drei Rotorblätter sind so angeordnet, dass sie eine drehsymmetrische Figur ergeben. Ein Mast dient zur Aufhängung der Rotorblätter.
Der Rotordurchmesser beträgt Meter (siehe Skizze).
Für das Rotorblatt werden in Minuten Umdrehungen gezählt.
Berechnen Sie, welchen Weg die Spitze eines Rotorblattes nach einer Stunde unter denselben Bedingungen zurückgelegt hat.
Runden Sie das Ergebnis auf ganze Kilometer.
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Lösung zur Teilaufgabe a
Die Strecke, die die Spitze des Rotorblattes zurücklegt, entspricht dem Umfang des Kreises. Berechne also zuerst den Umfang!
Berechne den Radius oder wähle die Umfangsformel, die den Durchmesser verwendet.
Setze die Werte ein.
Diese Strecke legt die Spitze des Rotorblattes bei einer Umdrehung zurück.
Aus der Angabe ist bekannt, dass das Rotorblatt in zehn Minuten Umdrehungen schafft. Rechne mit dem Dreisatz aus, wie viel es in einer Stunde, also sechzig Minuten, sind.
Umformung: \cdot6
In einer Umdrehung legt man den Umfang des Kreises zurück. Löse erneut mit dem Dreisatz!
Umformung: \cdot726
Das Ergebnis soll in Kilometer angegeben werden. Rechne um.
Die Rotorspitze legt in einer Stunde Kilometer zurück.
Die Skizze zeigt, wie die Rotorblätter in einem rechteckigen Feld in einer Montagehalle lagen, als man sie probeweise aneinander montierte.
Berechnen Sie die Seitenlängen und dieses rechteckigen Feldes.
Runden Sie auf ganze Meter.
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Lösung zur Teilaufgabe b
Beachte: Es muss nicht der Kreis in die Kiste passen, den die Rotorblätter erzeugen, wenn sie sich drehen, sondern nur die Rotorblätter!
Berechne zunächst die untere Seite der Kiste.
Die drei Rotorblätter bilden eine drehsymmetrische Figur.
Das bedeutet, dass die Winkel zwischen den Rotorblättern alle drei gleich groß sind.
Die Rotorblätter sind so lang wie der Radius, also .
Verwende zum Beispiel den Kosinussatz.
Die Seiten und sind die, die den bekannten Winkel einschließen. Setze die bekannten Werte ein.
Berechne.
Umformung: \sqrt{ }
Berechne nun die Länge der Kiste.
Die Länge lässt sich in zwei Teile aufteilen:
- die Länge des Rotorblattes, das 82 m lang ist.
- das untere Stück, das der Länge der einen Kathete im eingezeichneten, rechtwinkligen Dreieck entspricht.
Die andere Kathete ist die Hälfte der Basis des zuvor betrachteten gleichschenkligen Dreiecks:
Kathete 1:
Hypotenuse:
Wende den Satz des Pythagoras an.
Forme zunächst um.
Umformung: \sqrt{ }
Setze die bekannten Werte ein.
Setze nun die beiden Teile zusammen, um die Länge der Kiste zu bekommen.
Die Sonne steht so, dass der Schatten des Rotorblattes, dessen Spitze senkrecht nach oben zeigt, lang ist. Der Schatten des Mastes endet in einer Entfernung von vom Mittelpunkt des Mastes (siehe Skizze).
Berechnen Sie die Gesamthöhe der Windkraftanlage. Runden Sie auf ganze Meter.
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Lösung zur Teilaufgabe c
Gegeben hast du zwei durch verlaufende Geraden und , die von zwei parallelen Geraden geschnitten werden. Deshalb nutzt du den Vierstreckensatz.
Zunächst berechnest du die Höhe des Mastes und addierst danach die Länge der Strecke . Somit erhältst du die Gesamthöhe des Windrades.
Zuerst stellst du folgende Gleichung zum Strahlensatz auf. Diese findest du auch in der Formelsammlung.
Setze ein
Multipliziere auf beiden Seiten der Gleichung mit .
Berechne und runde auf eine ganze Zahl.
Im letzten Schritt berechnest du die Gesamthöhe der Windkraftanlage. Addiere dafür die Höhe des Mastes mit der Länge des Rotorblattes.
Die gesamte Höhe der Windkraftanlage beträgt .