Aufgabe B1
Gegeben ist die Funktion mit einer Gleichung der Form
.
Der Graph zu schneidet die y-Achse im Punkt .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion die Gleichung besitzt.
Zeichnen Sie sodann den Graphen zu für in ein Koordinatensystem.
(3 P)
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; ;
Lösung anzeigen
- Berechne den Parameter der Logarithmusfunktion ;
- Zeichne den Graphen von .
geg.: , -Achse in
ges.: Parameter in ; Zeichnung Graph zu
Berechnung Parameter : Einsetzen von in und Auflösen nach
Logarithmus-Regel: anwenden:
Einzeichnen des Graphen für
Berechnung von Wertepaaren:
Der Graph der Funktion wird durch Achsenspiegelung an der x-Achse sowie anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor auf den Graphen der
Funktion abgebildet.
Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion die Gleichung mit besitzt.
Zeichnen Sie sodann den Graphen zu für in das Koordinatensystem zu 1.1 ein. (3 P)
Lösung anzeigen
- Spiegle an der Achse und führe eine Parallelverschiebung mit dem Verschiebungsvektor auf aus;
- Zeichne den gespiegelten und parallel verschobenen Graphen zu und .
geg.: Funktionsgraph ; Verschiebungsvektor
ges.: (=gespiegelte +parallel verschobene ); Zeichnung der Graphen
Spiegelung an x-Achse durch Multiplikation des Funktionsterms mit −1
Paralellverschiebung der gespiegelten Funktion durch Vektoraddition mit
einsetzen in
Einzeichnen des Graphen zu für
Berechnung von Werten:
Punkte auf dem Graphen zu haben dieselbe Abszisse wie Punkte auf dem Graphen zu . Zusammen mit Punkten sind sie für die Eckpunkte von rechtwinkligen Dreiecken mit den Hypotenusen . Es gilt: .
Zeichnen Sie in das Koordinatensystem zur Teilaufgabe (a) die Dreiecke für und für ein. (2 P)
Lösung anzeigen
Berechne die Eckpunkte der Dreiecke und zeichne sie anschließend ins KOSY ein.
Eckpunkte von berechnen:
Eckpunkte von berechnen:
und einzeichnen: siehe Zeichnung zu Aufgabe (b)
Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte gilt: . (2 P)
Lösung anzeigen
Berechne und verwende die Logarithmusgesetze, um den Term zusammenzufassen.
geg.: Punkte liegen auf dem Graphen von :
Punkte liegen auf dem Graphen von :
ges.:
Nachweis für
mit 1. Logarithmusgesetz folgt:
LE q.e.d.
Das Dreieck hat den Flächeninhalt .
Bestimmen Sie rechnerisch die x-Koordinate des Punktes . (3 P)
Lösung anzeigen
- Berechne über die Dreiecksfläche.
- Berechne dazu die Nullstellen der quadratischen Funktion aus (d) mithilfe der a-b-c-Formel.
geg.:
;
ges.: -Koordinate von enthalten in
Berechnung x über die Dreiecksfläche:
| setze A(x) = 10 FE
| :2 | +1
| Logarithmus in Potenz umwandeln
Es gilt:
| quadratische Gleichung lösen
| -64
| a-b-c-Formel anwenden
Berechnung der Diskriminante D:
Lösungen
Für Nullstellen gilt und :
Die gesuchte -Koordinate von ist .
Der Eckpunkt des Dreiecks liegt auf dem Graphen zu .
Berechnen Sie die -Koordinate des Punktes (4 P)
Lösung anzeigen
Setze gleich. Ersetze durch in und bestimme die Nullstellen mithilfe a-b-c-Formel.
geg.:
Es gilt:
ges.: -Koordinate von enthalten in
-Koordinate von :
Gleichsetzen der Funktionswerte
Hierbei wurde im Term von durch ersetzt (siehe geg.).
| 1. Logarithmusgesetz anwenden
| Logarithmus in Potenz umwandeln
| quadratische Gleichung lösen
|
|a-b-c-Formel anwenden
2 Lösungen
Nullstellen sind: {}
Es gilt und
Also ist die Lösung
Check:
einzeichnen in die Graphen zu und
