Welchen Winkel schließen die Ebenen
und ein?
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Berechne zuerst den Normalenvektor der Ebene . Verwende anschließend die Formel des Schnittwinkels zweier Vektoren (mit den Normalenvektoren der Ebenen).
Für die Berechnung des Schnittwinkels der beiden Ebenen gilt folgende Formel:
Du benötigst also von den Ebenen die Normalenvektoren und deren Beträge.
Die Ebene liegt in der Parameterform vor. Der Normalenvektor der Ebene muss also berechnet werden.
Dazu gibt es zwei Möglichkeiten:
- Berechnung des Normalenvektors über das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren.
- Der Normalenvektor steht senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren. Das Skalarprodukt zwischen dem Normalenvektor und jedem Richtungsvektor ist gleich null.
Möglichkeit 1
Möglichkeit 2
und
Wird jeweils das Skalarprodukt berechnet, so erhältst du zwei Gleichungen.
Aus Gleichung folgt
Bei zwei Gleichungen mit drei Unbekannten ist eine Variable frei wählbar.
Setze z.B. . Dann ist auch gleich .
Mit Gleichung folgt dann:
Damit ist .
Der Normalenvektor der Ebene kann abgelesen werden.
Berechne nun die Beträge der beiden Normalenvektoren.
Setze in die Formel für die Winkelberechnung ein:
Setze die berechneten Werte ein.
Berechne das Skalarprodukt.
Berechne die Produkte und fasse zusammen.
Berechne den Betrag.
Kürze mit 3.
Du hast die Gleichung erhalten.
Durch Anwendung der Umkehrfunktion des Kosinus kannst du den Winkel berechnen. Benutze auf dem Taschenrechner die Funktion .
Antwort: Der Schnittwinkel zwischen den beiden Ebenen beträgt .
Zusätzliche graphische Darstellung, die in der Aufgabenstellung nicht gefordert ist
