Löse die folgenden Wurzelgleichungen.
Lösung anzeigen
Folgende Schritte sind erforderlich:
- Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
- Ist nur eine Wurzel vorhanden, dann muss diese Wurzel auf eine Seite der Gleichung gebracht werden
- Enthält die Gleichung neben anderen Gliedern mehrere Wurzeln, so ist mehrfaches Quadrieren notwendig
- Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
- Erhaltene Gleichung lösen
- Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
- Lösungsmenge angeben
Anmerkung: Das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Durch das Quadrieren können zusätzliche Lösungen erzeugt werden. Es gehen aber keine Lösungen verloren. Deshalb ist unbedingt eine Probe erforderlich.
1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
: Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
Umformung: -1
Löse nach auf.
Der Gültigkeitsbereich für die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.
Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung ist:
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass ist.
2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.
Das ist hier bereits der Fall.
3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
Umformung: ()^2
Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
Binomische Formel anwenden.
Umformung: -x-1
Bringe alle Terme auf eine Seite.
Klammere aus.
4. Erhaltene Gleichung lösen
Du hast die Gleichung erhalten, die du mit dem Satz vom Nullprodukt lösen kannst. Die Nullproduktregel sagt aus, wenn das Produkt von und gleich ist, so ist oder .
Umformung: +5
Löse nach auf.
Umformung: :4
Somit ist und/oder .
Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich für die Wurzel.
5. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
Fasse zusammen.
Ziehe die Wurzel.
Du hast eine falsche Aussage erhalten.
Somit ist keine Lösung der Wurzelgleichung.
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
Vereinfache.
Fasse zusammen.
Ziehe auf der linken Seite die Wurzel und kürze den Bruch auf der rechten Seite.
Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist Lösung der Wurzelgleichung.
6. Lösungsmenge angeben
Graphische Lösung als Ergänzung
Es ist und
.
Der -Wert (die Abszisse) des Schnittpunkts der beiden Graphen liefert die Lösung der Gleichung
, also .
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Folgende Schritte sind erforderlich:
- Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
- Ist nur eine Wurzel vorhanden, dann muss diese Wurzel auf eine Seite der Gleichung gebracht werden
- Enthält die Gleichung neben anderen Gliedern mehrere Wurzeln, so ist mehrfaches Quadrieren notwendig
- Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
- Erhaltene Gleichung lösen
- Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
- Lösungsmenge angeben
Anmerkung: Das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Durch das Quadrieren können zusätzliche Lösungen erzeugt werden. Es gehen aber keine Lösungen verloren. Deshalb ist unbedingt eine Probe erforderlich.
1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
: Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
Umformung: -2
Löse nach auf.
Der Gültigkeitsbereich für die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.
Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung ist:
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass ist.
2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.
Das ist hier bereits der Fall.
3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
Umformung: ()^2
Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
Binomische Formel anwenden.
Umformung: -x-2
Bringe alle Terme auf eine Seite.
4. Erhaltene Gleichung lösen
Du hast die quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
Lies die Werte für und ab:
und
Setze die Werte in die pq-Formel ein:
Setze und ein.
Berechne das Quadrat.
Fasse unter der Wurzel zusammen.
Vereinfache.
Ziehe die Wurzel.
Somit folgt:
und
Du hast als mögliche Lösungen erhalten und .
Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich für die Wurzel.
5. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
Fasse zusammen.
Ziehe die Wurzel.
Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist Lösung der Wurzelgleichung.
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
Fasse zusammen.
Ziehe die Wurzel.
Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist auch Lösung der Wurzelgleichung.
6. Lösungsmenge angeben
Graphische Lösung als Ergänzung
Es ist und
.
Die -Werte (die Abszissen) der Schnittpunkte der beiden Graphen liefern die Lösungen der Gleichung
, also und
, also .
Lösung anzeigen
Folgende Schritte sind erforderlich:
- Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
- Ist nur eine Wurzel vorhanden, dann muss diese Wurzel auf eine Seite der Gleichung gebracht werden
- Anhält die Gleichung neben anderen Gliedern mehrere Wurzeln, so ist mehrfaches Quadrieren notwendig
- Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
- Erhaltene Gleichung lösen
- Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
- Lösungsmenge angeben
Anmerkung: Das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Durch das Quadrieren können zusätzliche Lösungen erzeugt werden. Es gehen aber keine Lösungen verloren. Deshalb ist unbedingt eine Probe erforderlich.
1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
: Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
Umformung: +1
Umformung: :2
Der Gültigkeitsbereich für die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.
Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung ist:
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass ist.
2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.
Das ist hier bereits der Fall.
3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
Umformung: ()^2
Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
Binomische Formel anwenden.
Umformung: -2x+1
Bringe alle Terme auf eine Seite.
4. Erhaltene Gleichung lösen
Du hast die quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der p-q-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.
Lies die Werte für , und ab:
, und
Setze die Werte in die Mitternachtsformel ein:
Setze ein , und
Fasse zusammen.
Fasse zusammen.
Ziehe die Wurzel.
Es ergeben sich die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung:
und
Somit ist und/oder .
Du hast die Lösungen und erhalten. Bei der Berechnung dieser Lösungen wurde quadriert. Da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, muss geprüft werden, welche der beiden Lösungen die gesuchte Lösung der Gleichung ist.
5. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
Probe mit :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
Kürze den Bruch.
Fasse zusammen.
Du hast eine falsche Aussage erhalten (eine Wurzel ist immer positiv).
Somit ist keine Lösung der Wurzelgleichung.
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
Kürze den Bruch und fasse den Term unter der Wurzel zusammen.
Berechne die Wurzel und fasse zusammen.
Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist Lösung der Wurzelgleichung.
6. Lösungsmenge angeben
Graphische Lösung als Ergänzung
Es ist und
.
Der -Wert (die Abszisse) des Schnittpunkts der beiden Graphen liefert die Lösung der Gleichung
, also .
