Bestimme die Gleichung der Ursprungsgeraden, die im Hochpunkt schneidet, und berechne den Inhalt der Fläche, die von und der Geraden eingeschlossen ist.
Lösung anzeigen
Hochpunkt bestimmen
Als erstes musst du den Hochpunkt bestimmen. Dafür benötigst du die erste und zweite Ableitung.
Ableitungen bilden
Extremwerte bestimmen
Die Extremwerte von bestimmst du, indem du die erste Ableitung mit 0 gleichsetzt.
Umformung: +\frac{3}{2}
Umformung: :\frac{9}{8}
kannst du noch aus der Wurzel ziehen.
Art der Extrema bestimmen
Um die Art der Extrema zu bestimmen, musst du die Nullstellen der ersten Ableitung, in die 2. Ableitung einsetzen.
1. Extremstelle
hat einen Tiefpunkt an der Stelle , da die zweite Ableitung größer als ist.
2. Extremstelle:
hat einen Hochpunkt an der Stelle , da die zweite Ableitung kleiner ist.
y-Koordinaten bestimmen
Um die y-Koordinate des Hochpunkts zu bestimmen, musst du in einsetzen.
Löse die Potenzen auf.
Der Hochpunkt hat also die Koordinaten
Ursprungsgerade aufstellen
Nun kannst du die Ursprungsgerade aufstellen. Dafür benötigst du die Steigung der Geraden.
Steigung bestimmen
Die Steigung der Ursprungsgeraden bestimmt sich als Quotient der y-Koordinate und x-Koordinate des Hochpunktes.
Mit kürzen .
Gleichung aufstellen
Steigung und y-Achsenabschnitt in die allgemeine Geradengleichung einsetzen.
, , da eine Ursprungsgerade betrachtet wird.
Schnittpunkte bestimmen
Jetzt bestimmst du die Schnittpunkte der Ursprungsgerade mit dem Graphen von .
Setze beide Funktionen werden gleich.
Umformung: +x
x ausklammern.
Ein Schnittpunkt liegt bei 0, die anderen beiden Schnittpunkte beim Hoch- bzw. Tiefpunkt der Funktion.
Obere Funktionen ermitteln
Es existieren also drei Schnittpunkte der beiden Funktionen. So betrachtet man also die beiden Intervalle und zwischen den Schnittpunkten.
Ein Punkt, der zwischen den beiden Schnittpunkten liegt, wird in beide Funktionen eingesetzt. Um zu ermitteln, welche Funktion in den einzelnen Intervallen höhere oder gleich hohe Funktionswerte besitzt, wird ein Punkt, der zwischen je zwei benachbarten Schnittpunkten liegt, also ein Punkt aus bzw. in beide Funktionen eingesetzt.
Bei dieser Aufgabe nutzt man die Punktsymmetrie von , um sich die Bestimmung der oberen Funktion und eine schwierigere Integration zu sparen.
Gewählt wird also beispielsweise der Punkt .
Da den höheren Funktionswert bei besitzt und sich zwischen zwei Schnittpunkten befindet, ist sie in ganz die obere Funktion.
In ist aufgrund der Punktsymmetrie von und die obere Funktion.
Fläche berechnen
Zunächst wird das Integral aufgestellt, die Grenzen sind dabei ja zwei benachbarte Schnittpunkte.Hier sollen Flächen berechnet werden und dabei lassen sich Eigenschaften der punktsymmetrischen Funktionen nutzen.
Für eine punktsymmetrische Funktion gilt, dass .
Also berechnet sich die Gesamtfläche als .
Man kann hier, da vorher die obere Funktion bestimmt wurde, bei richtigem Ansatz auf die Betragsstriche verzichten.
Löse die inneren Klammern auf und fasse gleiche Elemente zusammen.
Integriere den Ausdruck.
In die Klammer wird für die rechte Grenze eingesetzt und minus die Klammer mit der linken Grenze gerechnet.
Innere Klammern ausmultiplizieren.
Die Gesamtfläche beträgt also FE.