Gegeben ist die Funktion:
Berechne die Nullstellen.
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Definitionsbereich bestimmen
Wir bestimmen zunächst den Definitionsbereich: Der Funktionsterm ist ein Bruch. Bei einem Bruch darf der Nenner
nicht null werden.
Ein Produkt ist genau dann gleich null, wenn wenigstens einer der Faktoren gleich null wird. Setze daher den Nenner der Funktion gleich 0, um die Definitionslücke zu bestimmen.
Verhalten der Funktion in der Umgebung der Definitionslücke
Da der Zähler von , , an der Stelle verschieden von der Definitionslücke ist, hat man an der Stelle eine Polstelle.
Da im Nenner der Faktor als Quadrat nie negativ werden kann, wird das Vorzeichen des Nenners alleine von bestimmt.
Also ist für und für . Somit liegt an eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor.
Also und
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen sind die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der x-Achse.
Umformung: \sqrt{}
Berechne die Extrema.
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Ableitungen bilden
1. Ableitung
Berechne die Ableitungen von Zähler () und Nenner (). Für wird die Kettenregel verwendet.
Quotientenregel anwenden:
Mit kürzen .
Zusammenfassen
2. Ableitung
Berechne die Ableitungen von Zähler () und Nenner (). Für wird die Kettenregel verwendet.
Quotientenregel anwenden:
Mit kürzen .
Extrema bestimmen
Für die Extrema werden mithilfe der 1. Ableitung die x-Werte bestimmt:
Es wird nur der Zähler der ersten Ableitung gleich 0 gesetzt, da mit dem Nenner multipliziert werden kann und dieser dann wegfällt.
Art der Extrema bestimmen
Gefundenes einsetzen.
Da Tiefpunkt
Gefundenes einsetzen.
Da Hochpunkt
y-Wert bestimmen
Gefundenes einsetzen.
Die y-Koordinate des zweiten Extremums ist bereits bekannt, da dieses zusätzlich auch eine Nullstelle ist.
Alternative Bestimmung der Extrema
Bestimme wie oben die erste Ableitung .
Die Nullstellen der 1. Ableitung kannst du nun bestimmen:
oder
Damit liegen an den Stellen oder extremwertverdächtige Stellen vor.
Das Vorzeichen der 1. Ableitung wird nur vom Zähler bestimmt. Denn der Nenner wird als Quadrat nie negativ.
Graphisch ist der Zähler der 1. Ableitung eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen und .
Man liest ab, dass links von dieser Graph unterhalb der x-Achse verläuft und zwischen und verläuft er oberhalb der x-Achse. Rechts von verläuft dieser Graph unterhalb der x-Achse.
Das bedeutet:
- fällt und
- wächst und
- fällt.
Somit liegt an der Stelle ein Minimum und an der Stelle liegt ein Maximum .