Gegeben ist die in definierte Funktion . Der Graph von wird mit bezeichnet.
Bestimmen Sie die Nullstellen von . (2P) (zur Kontrolle: und )
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Es muss sein. Dazu wird der Radikand gleich null gesetzt.
Klammere aus.
Ein Produkt ist dann null, wenn einer der beiden Faktoren gleich null ist.
Die Nullstellen von sind und .
Der Graph besitzt in genau einem Punkt eine waagrechte Tangente. Bestimmen Sie die Koordinaten dieses Punkts und begründen Sie, dass es sich um einen Hochpunkt handelt. (5P)
(zur Kontrolle: ; y-Koordinate des Hochpunkts: )
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Bei einer waagrechten Tangente muss sein.
Berechne zunächst die Ableitung der gegebenen Funktion.
Es ist . Die Ableitung lautet dann unter Beachtung der Kettenregel
Für die gegebene Funktion folgt damit:
Setze Der Zähler muss gleich null gesetzt werden.
Umformung: +2x
Löse nach auf.
Umformung: :2
An der Stelle hat die Funktion eine waagrechte Tangente.
Für die Koordinaten des Punktes muss noch berechnet werden:
Setze ein.
Im Punkt besitzt der Graph eine waagrechte Tangente.
Der soll ein Hochpunkt sein.
Der Nachweis kann z.B. mit einer Vorzeichentabelle erfolgen oder über die 2. Ableitung. Hier wird die Vorzeichentabelle verwendet.
Berechne dazu z.B. und und vergleiche mit .
Kürze.
und damit ist
Kürze.
und damit ist .
x<5 | x=5 | 5<x | |
|---|---|---|---|
|
|
| |
HP |
Damit ist nachgewiesen, dass der Punkt ein Hochpunkt ist.
Der Graph ist rechtsgekrümmt. Einer der folgenden Terme ist ein Term der zweiten Ableitungsfunktion von . Beurteilen Sie, ob dies Term oder Term ist, ohne einen Term von zu berechnen. (3P)
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Der Graph ist rechtsgekrümmt., d.h. .
Berechne für die Terme und jeweils einen Wert für die Ableitung, z.B. .
Für Term folgt dann:.
Für Term erhält man:.
Der Term ist somit der Term von .
Weisen Sie nach, dass für die Gleichung erfüllt ist, indem Sie die Terme und geeignet umformen.
Begründen Sie damit, dass der Graph symmetrisch bezüglich der Geraden mit der Gleichung ist. (5P)
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Die Gleichung soll für erfüllt sein.
Betrachte zunächst der Funktionsterm :
Ersetze durch .
Berechne die Terme unter der Wurzel.
Löse die Klammer auf.
Fasse zusammen
Betrachte nun den Funktionsterm :
Ersetze durch .
Berechne die Terme unter der Wurzel.
Löse die Klammer auf.
Fasse zusammen
Die Umformung der beiden Funktionsterme und ergab jeweils den gleichen Term .
Damit ist nachgewiesen, dass die Gleichung für erfüllt ist.
Die Gleichung ist gültig, d.h. der Graph der Funktion ist achsensymmetrisch zur Stelle .
Geben Sie den maximalen Definitionsbereich des Terms an. Bestimmen Sie und deuten Sie das Ergebnis geometrisch. (4P)
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Maximaler Definitionsbereich
Gegeben ist .
Bei einer Wurzel im Nenner eines Bruches sind für den Radikanden nur positive Werte erlaubt.
Der zu dem Funktionsterm gehörende Graph ist eine nach unten geöffnete Parabel mit den beiden Nullstellen und (bekannt aus Aufgabe a)).
Gesucht sind also alle Stellen, an denen der Graph oberhalb der -Achse verläuft.
Das ist der Fall für .
Bestimmen Sie
Die Steigung der Funktion geht für gegen .
Geben Sie an und zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein Koordinatensystem ein. (4P)
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Berechne :
Setze ein.
Vereinfache.
Somit folgt:
Graphische Darstellung der Funktion unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse.
Betrachtet wird die Tangente an im Punkt . Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem diese Tangente die -Achse schneidet. (2P)
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Berechne zunächst :
Setze ein.
Vereinfache.
Anmerkung: Man kann für die Berechnung von auch die Symmetrieeigenschaft der Funktion zu benutzen:
(nach Aufgabe f)).
Die Tangente an im Punkt schneidet die -Achse unter einem bestimmten Winkel.
Die allgemeine Tangentengleichung lautet:
Dabei ist
Berechne :
Setze ein.
Vereinfache.
Berechne die Wurzel.
Kürze
Damit kann der berechnet werden:
Mit dem Taschenrechner wird der dazugehörige Winkel berechnet.
Die Tangente schneidet die -Achse unter einem Winkel von etwa .
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Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden.
Sie dient nur der Veranschaulichung.
Von den Eckpunkten des Rechtecks liegen der Punkt mit sowie der Punkt B auf der -Achse, die Punkte und liegen auf . Das Rechteck besitzt somit die Gerade mit der Gleichung als Symmetrieachse. Zeigen Sie, dass die Diagonalen dieses Rechtecks jeweils die Länge besitzen. (5P)
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Der Punkt wurde auf der -Achse eingetragen. Aus Symmetriegründen liegt der Punkt bei und entsprechend die Punkte und .
Für die Strecke [AB] gilt dann: und für die Strecke [AD] gilt
Im Dreieck gilt dann der Satz des Pythagoras:
Berechne die Quadrate.
Löse die Klammer auf und fasse zusammen
Umformung: \sqrt{}
Ziehe die Wurzel. Da eine Länge gesucht ist, entfällt der negative Wert.
Damit ist gezeigt, dass die Diagonalen des Rechtecks jeweils die Länge besitzen.
Ein Wasserspeicher hat die Form eines geraden Zylinders und ist bis zu einem Füllstand von über dem Speicherboden mit Wasser gefüllt. Bohrt man unterhalb des Füllstands ein Loch in die Wand des Wasserspeichers, so tritt unmittelbar nach Fertigstellung der Bohrung Wasser aus, das in einer bestimmten Entfernung zur Speicherwand auf den Boden trifft. Diese Entfernung wird im Folgenden Spritzweite genannt (vgl. Abbildung). Die Abhängigkeit der Spritzweite von der Höhe des Bohrlochs wird durch die in den bisherigen Teilaufgaben betrachtete Funktion modellhaft beschrieben. Dabei ist die Höhe des Bohrlochs über dem Speicherboden in Metern und die Spritzweite in Metern.
Der Graph verläuft durch den Punkt . Geben Sie die Bedeutung dieser Aussage im Sachzusammenhang an. (1P)
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ist die Spritzweite des Wassers in Metern und ist die Höhe des Bohrlochs über dem Speicherboden in Metern.
Der Graph verläuft durch den Punkt .
die Höhe des Bohrlochs über dem Speicherboden beträgt .
befindet sich das Bohrloch in einer Höhe von , dann beträgt die Spritzweite des Wassers .
Berechne Sie die Höhen, in denen das Loch gebohrt werden kann, damit die Spritzweite beträgt. Geben Sie zudem die Höhe an, in der das Loch gebohrt werden muss, damit die Spritzweite maximal ist. (5P)
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Gefordert wird in der Aufgabe, dass ist:
Setze .
Umformung: :2
Umformung: ()^2
Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
Umformung: +x^2-10x
Die erhaltene quadratische Gleichung löst man mit der Mitternachtsformel(abc-Formel) oder mit der p-q-Formel. Hier wird die pq-Formel verwendet.
Lies die Werte für und ab:
und
Setze und ein.
Vereinfache.
Berechne die Wurzel.
Wird das Bohrloch in einer Höhe von oder in Höhe angebracht, dann beträgt die Spritzweite .
Die maximale Spritzweite
Das Maximum der Funktion wurde in Aufgabe b) berechnet:
Die Höhe, in der das Loch gebohrt werden muss, damit die Spritzweite maximal ist, beträgt demnach . Die maximale Spritzweite ist dann .
Es wird nun ein bestimmtes Bohrloch im Wasserspeicher betrachtet. Durch das Abfließen verringert sich das Volumen des Wassers im Speicher in Abhängigkeit von der Zeit. Die Funktion mit beschreibt modellhaft die zeitliche Entwicklung dieser Volumenänderung. Dabei ist die seit der Fertigstellung des Bohrlochs vergangene Zeit in Sekunden und die momentane Änderungsrate des Wasservolumens im Speicher in Litern pro Sekunde.
Berechnen Sie das Volumen des Wassers in Litern, das innerhalb der ersten Minute nach Fertigstellung des Bohrlochs aus dem Behälter abfließt. (4P)
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Die momentane Änderungsrate in wird durch die Funktion beschrieben. Dabei gilt für die Zeit .
Berechnen Sie das Volumen des Wassers in Litern, das innerhalb der ersten Minute nach Fertigstellung des Bohrlochs aus dem Behälter abfließt.
Dazu muss die momentane Änderungsrate integriert werden, und zwar von bis ( Minute = Sekunden).
In die Klammer wird für der obere Wert () eingesetzt und minus die Klammer mit dem unteren Wert () gerechnet.
Das Volumen des Wassers, das innerhalb der ersten Minute nach Fertigstellung des Bohrlochs aus dem Behälter abfließt, beträgt Liter.
Anmerkung: Der Graph der Funktion verläuft unterhalb der -Achse. Deshalb ist der Wert des Integrals negativ.