In diesem Artikel werden die unterschiedlichen Wachstumsarten vorgestellt und miteinander verglichen:
- lineares Wachstum
- exponentielles Wachstum
- beschränktes Wachstum
- logistisches Wachstum
Was heißt Wachstum?
In der Mathematik versteht man unter Wachstum nicht nur die Zunahme, sondern auch die Abnahme, Schrumpfung oder Zerfall eines Bestandes im Zeitverlauf.
- Zunahme: z.B. Wachstum einer Pflanze ist die Höhe in
- Abnahme: z.B. radioaktiver Zerfall ist die Anzahl der noch nicht zerfallenen radioaktiven Atomkerne
Hat ein Bestand zur Zeit den Wert und zur Zeit den Wert , dann können folgende Wachstumsarten unterschieden werden:
Vergleich der Messwerte | Wachstumsart |
|---|---|
positives Wachstum (Zunahme) | |
Nullwachstum (konstante Funktion) | |
negatives Wachstum (Abnahme oder Zerfall) |
Für die oben angegebenen vier Wachstumsarten gilt immer:
- : ist der Bestand zur Zeit ,
- : ist der Anfangsbestand zur Zeit , also der Startwert.
Lineares Wachstum
Steckbrief | |
|---|---|
Gleichung | |
Erkennungsmerkmal | Zunahme pro Zeitschritt ist immer gleich, d.h. |
Graph | Gerade |
Dabei ist die (absolute) Änderungsrate und ist konstant.
Funktionsgraphen für lineares Wachstum
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1. positives Wachstum
Beim Füllen des Whirlpools steigt die Füllhöhe (Höhe in ) linear mit der Zeit ( in Stunden).
Der Anfangswert ist hier die Höhe des Wasserstandes zur Zeit .
2. negatives Wachstum
Beim gleichmäßigen Abbrennen einer Kerze verringert sich die Länge der Kerze (Länge in) linear mit der Zeit ( in Stunden).
Der Anfangswert ist hier die Anfangslänge der Kerze.
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Wenn die Differenz zeitlich aufeinanderfolgender Funktionswerte konstant ist, liegt lineares Wachstum vor.
(in Stunden) | (in cm) | |
|---|---|---|
.... | .... | .... |
(konstant)
Es handelt sich hier um lineare Abnahme, da negativ ist.
Weitere Informationen findest du in dem Artikel Lineares Wachstum.
Exponentielles Wachstum
Steckbrief | |
|---|---|
Gleichung | |
Erkennungsmerkmal | Der Bestand ändert sich in gleichen (zeitlichen) Abständen immer um denselben Faktor, d.h. die Zunahme oder die Abnahme pro Zeitschritt ist immer gleich: Der Faktor heißt Wachstumsfaktor. |
Graph | Exponentialfunktion |
| |
|
Funktionsgraphen für exponentielles Wachstum bzw. exponentielle Abnahme
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1. Zunahme
Beim Wachstum von Hefekulturen ändert sich die Hefemenge (Masse in) in Abhängigkeit von der Zeit (in Stunden).
ist die am Anfang vorhandene Hefemenge.
2. Abnahme
Beim radioaktiven Zerfall ändert sich in Abhängigkeit von der Zeit die Anzahl der noch nicht zerfallenen Atomkerne.
Die Anzahl der noch nicht zerfallenen radioaktiven Atomkerne zu Beginn der Beobachtung ist .
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Wenn der Quotient aus zeitlich aufeinanderfolgenden Funktionswerten konstant ist, liegt exponentielles Wachstum vor.
(in Stunden) | (in €) | |
|---|---|---|
.... | .... | .... |
Der Quotient , der Wachstumsfaktor, ist hier und ist kleiner als , d.h. es handelt sich um exponentielle Abnahme.
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Exponentielles Wachstum
- Es gilt: , mit
- Ist , dann handelt es sich um positives Wachstum (Zunahme). Ist , dann handelt es sich um negatives Wachstum (Abnahme oder Zerfall).
- Die Gleichungen für die Halbwertszeit und die Verdopplungszeit sind gleich:.
Funktionsgraphen für exponentielles Wachstum mit einer e-Funktion
Konvention
Oft wird die Wachstums- und die Zerfallskonstante immer positiv gewählt. Man hat auch bei Zerfallsprozessen eine positive Zerfallskonstante. Die Formel muss dann um ein Minuszeichen ergänzt werden:
Weitere Informationen findest du in dem Artikel Exponentielles Wachstum.
Beschränktes Wachstum
Steckbrief | |
|---|---|
Gleichung | beschränkte Zunahme: S nennt man obere Schranke. beschränkte Abnahme: S nennt man untere Schranke Es gilt immer: |
Erkennungsmerkmal: Funktionsgraph | Das Wachstum (Zu- oder Abnahme) ist am Anfang am stärksten und schwächt sich im Laufe der Zeit immer mehr ab, sodass sich der Funktionsgraph asymptotisch der Schranke annähert. |
Funktionsgraph für beschränktes exponentielles Wachstum (Zunahme)
Funktionsgraph für beschränktes exponentielles Wachstum (Abnahme)
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1. Zunahme
Ein gefrorenes Brötchen wird zum Auftauen in einen Raum gebracht. Die Temperaturzunahme (in) wird in regelmäßigen Zeitabständen gemessen. Der Anfangswert ist hier die Temperatur des Brötchens zu Beginn der Messung.
Die Temperatur nimmt exponentiell zu und nähert sich der Raumtemperatur an. Die Raumtemperatur stellt somit die obere Schranke dar.
2. Abnahme
Ein heißer Tee kühlt auf Raumtemperatur ab. Die Temperaturabnahme (in) wird in regelmäßigen Zeitabständen gemessen. Der Anfangswert ist hier die Temperatur des Tees zu Beginn der Messung. Die Temperatur nimmt exponentiell ab und nähert sich der Raumtemperatur an. Die Raumtemperatur stellt somit die untere Schranke dar.
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Wenn der Quotient aus zeitlich aufeinanderfolgenden Funktionswerten des Restbestandes konstant ist, liegt beschränktes exponentielles Wachstum vor.
(in Stunden) | (in ) |
| |
|---|---|---|---|
.... | .... | .... | .... |
Der Quotient , der Wachstumsfaktor des Restbestandes, ist hier und ist kleiner als . Es handelt sich um exponentielle Abnahme des Restbestandes. Somit liegt beschränktes exponentielles Wachstum (Abnahme) vor.
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Exponentielles beschränktes Wachstum
- beschränkte Zunahme: es gilt:
Funktionsgraph für beschränktes exponentielles Wachstum (Zunahme)
- beschränkte Abnahme: es gilt:
Funktionsgraph für beschränktes exponentielles Wachstum (Abnahme)
Anmerkung: ist entweder eine obere oder untere Schranke. Es gilt:
Weitere Informationen findest du in dem Artikel Beschränktes exponentielles Wachstum.
Logistisches Wachstum
Steckbrief | |
|---|---|
Gleichung | oder nach kürzen mit : Die Potenz im Nenner ist die e-Funktion. |
Erkennungsmerkmal: Funktionsgraph | Typische -Kurve mit einem Wendepunkt. Anfangs liegt angenähert exponentielles Wachstum vor, dann schließt sich ein beschränktes Wachstum mit einer Schranke an. |
Funktionsgraph für logistisches Wachstum
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Bevölkerungswachstum (Anzahl in Millionen) in einem Land in Abhängigkeit von der Zeit (in Jahren). Der Anfangswert ist hier die Anzahl der Menschen zu Beginn der Beobachtung.
Die Schranke ist die maximal erreichbare Anzahl von Menschen in diesem Land.
Gewichtszunahme (Gewicht in Gramm) einer neugeborenen Katze in Abhängigkeit von der Zeit (in Wochen). Der Anfangswert ist hier das Geburtsgewicht der Katze.
Die Schranke ist das maximal erreichbare Gewicht der Katze.
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Wenn sich das Wachstum im logistischen Sinne ändert, kann die graphische Darstellung des Datensatzes Aufschluss darüber geben. Ergibt sich eine typische S-Kurve mit einem Wendepunkt, dann handelt es sich um logistisches Wachstum.
(in Stunden) | (in cm) |
|---|---|
Graphische Darstellung des Datensatzes
Die -Kurve lässt auf logistisches Wachstum schließen.
Weitere Informationen findest du in dem Artikel Logistisches Wachstum.