Als Halbwerts- bzw. Verdopplungszeit bezeichnet man die Zeitspanne, in der sich die Größe eines Wertes halbiert bzw. verdoppelt.
Man betrachtet Halbwerts- und Verdopplungszeit häufig bei exponentiellem Zerfall bzw. Wachstum, denn nur bei exponentiellem Änderungsverhalten ist die Halbwerts- bzw. Verdopplungszeit eine Konstante.
Im Bild links steht die -Achse für die Zeit und die -Achse für einen Wert .
Es sind der Startpunkt () und der Punkt, an dem sich der Startwert halbiert hat (, ), markiert.
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Halbwertszeit
ist als Funktionsgleichung gegeben.
Nach der Halbwertszeit ist der Anfangswert auf die Hälfte geschrumpft. Es gilt:
Herleitung
Man notiert den Ansatz, dass sich der Anfangswert nach der Zeit halbiert hat in Formelschreibweise:
Für setzt man dann den Funktionsterm ein und löst nach auf:
Man kann nun auf beiden Seiten durch den Anfangswert teilen.
Man wendet auf beiden Seiten den Logarithmus an. Es ist egal zu welcher Basis der Logarithmus gewählt wird. Man verwendet jedoch meist den natürlichen Logarithmus .
Mit Hilfe der Logarithmusregeln lässt sich "nach vorne ziehen".
Nach aufgelöst ergibt sich:
Verdopplungszeit
Nach der Verdopplungszeit ist der Anfangswert auf das Doppelte gestiegen. Es gilt:
Die Begründung erfolgt analog zu der Halbwertszeit mit dem Ansatz .
Verdoppelungszeit und Halbwertszeit bei -Funktion
Da in der Praxis häufig Wachstumsprozesse mit der -Funktion modelliert werden, werden auch Halbwerts- und Verdopplungszeit nicht wie oben berechnet, sondern abgestimmt auf die Funktionsgleichungen
bei exponentiellem Wachstum und
bei exponentiellem Zerfall.
Dabei gilt sowohl für die Verdopplungs- als auch für die Halbwertszeit:
Die Begründung erfolgt analog zu denen der Exponentialfunktion mit beliebiger Basis.