Gegeben sind zwei Kugeln mit und und mit und .
Zeige, dass die beiden Kugeln und sich schneiden.
Lösung anzeigen
Ist der Betrag der Differenz der beiden Kugelradien kleiner als der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte und dieser Abstand wiederum kleiner als die Summe der beiden Kugelradien, dann schneiden sich die beiden Kugeln.
Schnittpunktsbedingung:
Lagebeziehung der beiden Kugeln
Gegeben sind die beiden Kugelradien: und
Berechne:
Zu 2. Berechne den Vektor
Berechne
Setze die berechneten Werte in die Schnittpunktsbedingung ein:
Antwort: Die Schnittpunktsbedingung ist erfüllt, d.h. die beiden Kugeln schneiden sich.
Bestimme eine Gleichung der Schnittebene .
Lösung anzeigen
Erstelle von beiden Kugeln die Vektorgleichung und wandle sie in eine Koordinatendarstellung um. Die Differenz der beiden Kugelgleichungen liefert die Gleichung der gesuchten Schnittebene .
Aufstellen der Kugelgleichungen
Kugel :
,
Setze und in ein.
Vereinfache.
Fasse zusammen.
Rechne das Skalarprodukt aus.
Vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.
Fasse die linke Seite zusammen.
Umformung: -45
Antwort: Die Gleichung der Kugel lautet:
Kugel :
,
Setze und in ein.
Vereinfache.
Fasse zusammen.
Rechne das Skalarprodukt aus.
Vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.
Fasse die linke Seite zusammen.
Umformung: -21
Antwort: Die Gleichung der Kugel lautet:
Schnitt der beiden Kugeln berechnen
Die Kugel entspricht Gleichung und die Kugel entspricht Gleichung . Es handelt sich hier um ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 3 Variablen.
Berechne die Differenz der beiden Gleichungen.
Umformung: :(-2)
Antwort: Die Gleichung der Schnittebene lautet .
Die nebenstehende Abbildung ist nicht verlangt worden.
Sie dient nur der Veranschaulichung.
Dargestellt sind die Kugeln mit Mittelpunkt und mit Mittelpunkt .
Die Kugeln schneiden sich in einem Schnittkreis (rot), der den Mittelpunkt und den Radius hat. Der Schnittkreis liegt in der Schnittebene .
Berechne den Mittelpunkt des Schnittkreises der beiden Kugeln und den Schnittkreisradius .
Lösung anzeigen
Mittelpunkt
Erstelle die Gleichung der Lotgeraden durch den Mittelpunkt auf die Ebene .
Verwende als Aufpunkt den Mittelpunkt und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene . Schneide die Lotgerade mit der Ebene und du erhältst als Lösung einen Wert für den Geradenparameter. Diesen Wert setzt du in die Gleichung der Lotgeraden ein, um die Koordinaten des Mittelpunktes zu erhalten.
Schnittkreisradius
Den Schnittkreisradius kannst du mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnen. Der Abstand der Ebene vom Mittelpunkt ist der Betrag des Vektors . Berechne . Der Kugelradius der ersten Kugel ist gegeben. Dann gilt:
Berechnung des Mittelpunkt
Stelle die Gleichung der Lotgeraden durch den Mittelpunkt auf die Ebene auf.
Verwende als Aufpunkt den Mittelpunkt und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene :
oder
Berechne den Mittelpunkt , indem du die Lotgerade mit der Ebene schneidest:
Setze ,, in ein.
Löse die Klammern auf.
Fasse zusammen.
Umformung: -31
Löse nach auf.
Umformung: :38
Zur Berechnung des Mittelpunktes setzt du in die Gleichung der Lotgeraden ein.
Antwort: Der Mittelpunkt hat die Koordinaten .
Berechnung des Schnittkreisradius
In der Abbildung ist nur die Kugel dargestellt.
Den Schnittkreisradius kannst du mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnen. Der Abstand der Ebene vom Mittelpunkt ist der Betrag des Vektors und der Kugelradius von ist .
Berechne zuerst den Vektor und dann dessen Betrag.
Nach auflösen.
Setze und ein.
Berechne die Quadrate.
Vereinfache.
Antwort: Der Radius des Schnittkreises beträgt .