Von einem außerhalb einer Kugel liegenden Punkt können unendlich viele Tangenten an die Kugel gelegt werden. Diese Tangenten bilden einen (doppelten) Kreiskegel, den Tangentialkegel der Kugel mit der Spitze . Die Berührpunkte aller Tangenten mit der Kugel liegen auf einem Kreis, den die Ebene aus der Kugel ausschneidet. Diese Ebene wird auch Polarebene genannt.
Hinweis: In der Abbildung sind Tangenten eingezeichnet.
Herleitung der Ebenengleichung E
Allgemeines Vorgehen bei der Erstellung der Ebenengleichung
Gegeben ist die Kugel mit Mittelpunkt und Radius und ein Punkt , der außerhalb von liegt.
Die Tangente durch den Punkt an die Kugel berührt die Kugel im Punkt . Der Vektor vom Mittelpunkt der Kugel zum Berührpunkt steht senkrecht auf dem Vektor (Richtungsvektor der Tangente), d.h.
. Schreibt man die beiden Verbindungsvektoren als Differenz, so erhält man die Gleichung
Andererseits gilt für den Berührpunkt die Kugelgleichung
Forme Gleichung so um, dass eingesetzt werden kann.
Füge im zweiten Faktor ein. (Du hast Null eingefügt.)
Klammere bei den letzten beiden Vektoren ein Minuszeichen aus.
Berechne das Skalarprodukt.
Da nach Gleichung gilt: ersetze durch .
Umformung: +r^2
Bringe auf die andere Seite.
Ersetze den Vektor durch den Vektor .
Beispiel für die Erstellung der Ebenengleichung
Gegeben sind eine Kugel mit Kugelmittelpunkt , Kugelradius und ein Punkt außerhalb der Kugel. Vom Punkt aus werden Tangenten an die Kugel gelegt. Alle Berührpunkte der Tangenten mit der Kugel liegen auf einem Kreis, den die Ebene aus der Kugel ausschneidet. Bestimme die Gleichung der Ebene in Koordinatenform.
Benutze die Ebenengleichung und setze die gegebenen Werte ein.
Setze , und ein.
Vereinfache.
Berechne das Skalarprodukt.
Vereinfache.
Umformung: +14
Antwort: Die Gleichung der Ebene lautet .
Der Tangentenkegel
Beim Tangentenkegel können
- der Mittelpunkt des Schnittkreises
- der Schnittkreisradius
- der Öffnungswinkel
- das Kegelvolumen
berechnet werden.
Berechnung des Schnittkreismittelpunktes
Den Mittelpunkt des Schnittkreises berechnest du, indem du die Lotgerade von auf die Ebene mit der Ebene schneidest:
Verwende als Aufpunkt den Mittelpunkt und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene :
Beispiel für die Berechnung des Schnittkreismittelpunktes
Gegeben sind die Schnittkreisebene und der Kugelmittelpunkt . Gesucht ist .
Berechne die Gleichung der Lotgeraden durch den Mittelpunkt auf die Ebene .
Verwende als Aufpunkt den Mittelpunkt und als Richtungsvektor den Normalenvektor der Ebene .
Schneide die Lotgerade mit der Ebene
Löse die Klammern auf.
Vereinfache.
Umformung: -14
Löse nach auf.
Umformung: :33
Zur Berechnung des Schnittpunktes setzt du in die Gleichung der Lotgeraden ein.
Antwort: Der Mittelpunkt des Schnittkreises hat die Koordinaten
.
Berechnung des Schnittkreisradius
Mit dem Satz von Pythagoras berechnest du den Schnittkreisradius . Der Abstand der Ebene vom Mittelpunkt ist .
Dann gilt im rechtwinkligen Dreieck : . Für der Schnittkreisradius folgt daraus:
.
Beispiel für die Berechnung des Schnittkreisradius
Gegeben sind der Kugelmittelpunkt , der Mittelpunkt des Schnittkreises und der Kugelradius . Gesucht ist .
Berechne den Vektor und dann dessen Betrag .
Setze und ein.
Vereinfache
Berechne die Differenz.
Antwort: Der Schnittkreisradius beträgt .
Berechnung des Öffnungswinkels des Tangentialkegels
Im rechtwinkligen Dreieck gilt:
bzw.
Beispiel für die Berechnung des Öffnungswinkels des Tangentialkegels
Gegeben sind der Kugelmittelpunkt , der Kugelradius und der Punkt . Gesucht ist der Öffnungswinkel .
Für den halben Öffnungswinkel gilt:
Berechne den Vektor und dann dessen Betrag.
Antwort: Der Öffnungswinkel des Tangentialkegels beträgt etwa .
Volumenberechnung des Tangentialkegels
Für das Volumen eines Kegels gilt:
Der Kegelradius ist und die Kegelhöhe ist die Länge der Strecke .
Beispiel für die Berechnung des Tangentialkegelvolumens
Gegeben sind der Mittelpunkt des Schnittkreises , der Punkt und der Schnittkreisradius . Gesucht ist .
Der Kegelradius ist gleich dem Schnittkreisradius und die Kegelhöhe ist die Länge der Strecke .
Berechne den Vektor und dann dessen Betrag.
Berechne nun das Volumen des Kegels:
Setze und in die Volumenformel ein
Vereinfache.
Antwort: Das Volumen des Tangentialkegels beträgt etwa .