Gegeben sind die Kugel mit dem Mittelpunkt und dem Radius und eine Gerade. Untersuche die gegenseitige Lage der Geraden bezüglich der Kugel. Gib gegebenenfalls alle Schnittpunkte an.
Mittelpunkt der Kugel , Kugelradius
Gerade
Lösung anzeigen
Stelle die Kugelgleichung in vektorieller Form auf und setze die Geradengleichung in die Gleichung ein. Ergeben sich bei der Lösung der Gleichung zwei Lösungen, dann ist die Gerade eine Sekante. Hat die Gleichung genau eine Lösung, dann ist die Gerade eine Tangente. Findest du hingegen keine Lösung der Gleichung, dann ist die Gerade eine Passante.
Aufstellen der Kugelgleichung
,
Gerade g in einsetzen
Fasse zusammen.
Vereinfache weiter.
Rechne das Skalarprodukt aus.
Vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden!
Umformung: -49
linke Seite sortieren
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder p-q-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.
Lies dazu die Werte für , und ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein: , ,
Setze , , ein
vereinfache
Die quadratische Gleichung hat somit die Lösungsmenge . Da es zwei Lösungen gibt, schneidet die Gerade die Kugel in zwei Punkten. Die Gerade g ist also eine Sekante.
Schnittpunkte berechnen
Setze die zwei gefundenen Parameter und in die Geradengleichung ein.
:
:
Antwort: Die beiden Schnittpunkte haben die Koordinaten und .
Mittelpunkt der Kugel , Kugelradius
Gerade
Lösung anzeigen
Stelle die Kugelgleichung in vektorieller Form auf und setze die Geradengleichung in die Gleichung ein. Ergeben sich bei der Lösung der Gleichung zwei Lösungen, dann ist die Gerade eine Sekante. Hat die Gleichung genau eine Lösung, dann ist die Gerade eine Tangente. Findest du hingegen keine Lösung der Gleichung, dann ist die Gerade eine Passante.
Aufstellen der Kugelgleichung
,
Gerade g in einsetzen
Fasse zusammen.
Vereinfache weiter.
Rechne das Skalarprodukt aus.
Vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden!
fasse zusammen
Umformung: -21
Umformung: :5
wende eine binomische Formel an
Die Lösung dieser quadratischen Gleichung kann direkt abgelesen werden:
Die quadratische Gleichung hat die Lösungsmenge . Da es genau eine Lösung gibt, haben die Gerade und die Kugel einen Punkt gemeinsam, d.h. die Gerade ist eine Tangente an die Kugel .
Schnittpunktberechnung
Da es nur einen gemeinsamen Punkt zwischen der Kugel und der Geraden gibt, ist dieser Punkt ein Berührpunkt.
Setze den Wert in die Geradengleichung ein.
Antwort: Der Berührpunkt hat die Koordinaten
Mittelpunkt der Kugel , Kugelradius
Gerade
Lösung anzeigen
Stelle die Kugelgleichung in vektorieller Form auf und setze die Geradengleichung in die Gleichung ein. Ergeben sich bei der Lösung der Gleichung zwei Lösungen, dann ist die Gerade eine Sekante. Hat die Gleichung genau eine Lösung, dann ist die Gerade eine Tangente. Findest du hingegen keine Lösung der Gleichung, dann ist die Gerade eine Passante.
Aufstellen der Kugelgleichung
,
Gerade g in einsetzen
Fasse zusammen.
Vereinfache weiter.
Vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden!
fasse zusammen
Umformung: -36
Die quadratische Gleichung löst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder p-q-Formel.
Lies dazu die Werte für , und ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein: , ,
Setze , , ein
vereinfache
Du hast bei der Lösung der Gleichung eine negative Wurzel erhalten, d.h. die Gleichung hat keine reelle Lösung:
Die Gerade hat mit der Kugel keine gemeinsamen Punkte, d.h. die Gerade ist eine Passante.