Gibt es stetige Funktionen mit den folgenden Eigenschaften? Falls ja, gib ein Beispiel an; falls nein, begründe deine Entscheidung.
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Nein, eine solche Funktion gibt es nicht.
Begründung:
Die Funktion liefert die beiden Funktionswerte und , hat aber Steigung 1. Hat nun eine Funktion mit immer eine Steigung kleiner 1, wie gefordert, dann ist sie für positive immer kleiner als und erreicht nie den Punkt .
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Nein, eine solche Funktion gibt es nicht.
Begründung:
Bei stetigen Funktionen liegt zwischen zwei Nullstellen immer ein Extremum, da der Funktionsgraph "umkehren" muss, um wieder die x-Achse zu erreichen. Da an der Stelle des Extremums immer gilt, sind die Bedingungen nicht erfüllt.
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Nein, eine solche Funktion gibt es nicht.
Begründung:
Die zweite Bedingung zeigt dir, dass der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse sein soll. Dann kann der Funktionsgraph aber nicht gleichzeitig streng monoton steigen , wie du dir anhand einer Skize veranschaulichen kannst.
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Ja, eine solche Funktion existiert. Beispiel:
Bei dieser Funktion erhältst du die Ableitung
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Ja, eine solche Funktion existiert. Um das besser erkennen zu können kannst du die Gleichung umschreiben:
Nun suchst du eine Funktion, die beim Ableiten selbst im Nenner auftaucht. Das gilt für die Wurzelfuntion mit . Den störenden Faktor wirst du nun durch das Nachdifferenzieren los, wenn du die Wurzelfunktion geeignet veränderst:
.
Die gesuchte Funktion ist damit .