Gegeben ist die Schar der in definierten Funktionen mit sowie dir in definierte Funktion .
Die Abbildungen 1 bis 4 zeigen die Graphen der Funktionen bzw . Ordnen Sie jeder dieser Funktionen den passenden Graphen zu und begründen Sie drei Ihrer Zuordnungen durch Aussagen zur Symmetrie, zu den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsenoder dem Verhalten an den Grenzen des Definitionsbereichs des jeweiligen Graphen. (4 BE)
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Hier musst du dich mit ganzrationale Funktionen und Eigenschaften von Funktionen wie Symmetrie, Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und das Verhalten im Unendlichen auskennen.
Graph gehört zur Abb. 4
, da .
Der Schnittpunkt von mit der -Achse ist bei , da ist:
Die Abb. 4 ist die einzige Abbildung, bei der der Graph die -Achse bei schneidet.
Graph gehört zur Abb. 3
ist nicht achsensymmetrisch zur -Achse:
Der einzige Graph, der nicht achsensymmetrisch ist, ist auf Abbildung 3 zu sehen.
Graph gehört zur Abb. 1
hat 3 Nullstellen:
Faktorisiere, indem du ausklammerst.
Faktorisiere mit Hilfe der 3. binomischen Formel weiter.
Bestimme die Nullstellen, indem du die Faktoren wegen dem Satz vom Nullprodukt einzeln gleich null setzt.
und und
Die Abbildung 1 ist die einzige, wo der Graph Nullstellen hat. Also gehört zu Abb. 1.
Graph gehört zur Abb.2
ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades (also eine gerade Funktion) mit einem Faktor, der kleiner als ist. Das heißt, dass die Funktion im Unendlichen von "links unten" nach "rechts unten" verläuft.
Der einzige Graph, bei dem das der Fall ist, ist die Abb. 2.
Anmerkung: Du musst für die Erfüllung der Aufgabenstellung nur drei der mathematischen Argumente aufschreiben. Den vierten Graphen kann man dann nach Ausschlussprinzip zuordnen.
Betrachtet werden nun die Funktionen mit . Geben Sie in Abhängigkeit von das Verhalten dieser Funktionen für und für an. (3 BE)
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Auch hier musst du wissen, wie sich ganzrationale Funktionen im Unendlichen verhalten.
Für das Verhalten im Unendlichen ist der höchste Exponent sowie das Vorzeichen vor dem Summanden mit dem höchsten Exponenten entscheidend.
Für ist immer der höchste Exponent, weil ja genau größer als sein soll. Der Summand ist damit und hat ein negatives Vorzeichen.
Bei einem negativen Vorzeichen verlaufen gerade Funktionen von "links unten" nach "rechts unten" und ungerade Funktionen von "links oben" nach "rechts unten".
Für ein gerades verläuft die Funktion von "links unten" nach "rechts unten":
und
Für ein ungerades verläuft die Funktion von "links oben" nach "rechts unten".
und