Die Gerade verläuft durch die Punkte und .
Zeigen Sie, dass die Punkte und den Abstand haben. Die Punkte und liegen auf und haben von jeweils den Abstand .
Bestimmen Sie die Koordinaten von und . (3 BE)
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Für diese Aufgabe musst du wissen, wie du den Abstand zwischen zwei Punkten ausrechnest. Außerdem musst du Vektoren addieren und multiplizieren können.
Abstand der Punkte und
Dafür berechnest du den Betrag des Verbindungsvektors zwischen und :
Die Punkte und haben den Abstand Längeneinheiten voneinander, wie man zeigen sollte. Statt dem Vektor kann man natürlich genauso den Vektor verwenden.
Koordinaten von und
ist ein Richtungsvektor der Geraden mit der Länge . Sucht man jetzt Punkte, die auf der Geraden liegen und den Abstand von haben, muss man zum Punkt gehörigen Vektor nur zweimal den Vektor addieren bzw. subtrahieren:
und
Damit hat der Punkt die Koordinaten und der Punkt die Koordinaten .
Alternativen
Es gibt auch noch andere mögliche Rechenwege: Für den Punkt kann man hier beispielsweise auch einmal den Vektor zum Punkt addieren. Außerdem kann man die Bezeichnung von und genau vertauschen.
Die Punkte und sollen mit einem weiteren Punkt die Eckpunkte eines Parallelogramms bilden. Für die Lage des vierten Eckpunkts gibt es mehrere Möglichkeiten. Geben Sie für zwei dieser Möglichkeiten die Koordinaten des vierten Eckpunkts an. (2 BE)
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Für diese Aufgabe solltest du die Eigenschaften eines Parallelogramms kennen.
Grundsätzlich sind drei Möglichkeiten vorstellbar, die drei vorhandenen Punkte zu einem Parallelogramm zu ergänzen. Sie sind alle in der Grafik rechts grundsätzlich dargestellt.
Anmerkungen zur Grafik
Die Grafik ist im Gegensatz zum beschriebenen Problem zweidimensional und berücksichtigt nicht die realen Abstände.
Wie kann man sich das überlegen?
Beim Zeichnen kann man sich jeweils zwei der Strecken zwischen der Punkte einzeichnen und durch die jeweils parallelen Strecken ergänzen, sodass man bei drei Streckenpaaren auch auf drei mögliche Parallelogramme erhält.
Das Vorgehen zum Ermitteln eines neuen Punktes funktioniert immer gleich: Man stellt einen Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten auf und addiert diesen zum dritten Punkt.
Nachdem du den Vektor bereits kennst, lassen sich die Punkte und schneller ausrechnen:
Einen Verbindungsvektor berechnet man, indem man "Spitze minus Fuß" rechnet:
Die drei möglichen Punkte sind:
Achtung: Man kann jeden der Punkte auf viele verschiedene Arten erhalten, ein anderer Rechenweg ist also gut möglich.