Nebenstehende Skizze zeigt den Axialschnitt eines Rotationskörpers, der das Glas einer Sanduhr darstellt.
Es gilt:
Die beiden Hälften des Glases sind jeweils hoch. Die untere Hälfte ist bis zur Fülllinie mit Sand gefüllt.
Wird die Sanduhr umgedreht, rieseln pro Sekunde durchschnittlich des Sandes von der oberen in die untere Hälfte des Glases. Berechnen Sie, nach welcher Zeit sich der Sand wieder vollständig in der unteren Hälfte des Glases befindet.
Runden Sie auf Ganze.
Teilergebnis:
Lösung anzeigen
Um hier zu berechnen, wie lange der Sand braucht, um von der einen Hälfte des Sanduhr in die andere zu fließen, muss man das Volumen des Sands in der Sanduhr bestimmen. Jedoch muss man auf dem Weg zur Lösung ein paar der nötigen Längen dafür bestimmen.
Um das Volumen des Sands in der Sanduhr zu bestimmen, müssen wir das Volumen des Sands in der unteren Halbkugel mit dem Volumen des Sands im Zylinder addieren.
Um zu bestimmen, benutzt du die Formel für das Kugelvolumen, also
Jetzt fehlt nur noch das Volumen des mit Sand gefüllten Zylinders. Das wird ein wenig schwieriger.
Das Volumen eines Zylinders bestimmt man über die Formel
Die Höhe des Zylinders ist jedoch nicht angegeben und muss über andere Angaben aus der Aufgabenstellung ermittelt werden. Eine Skizze hilft dir oft, klarer zu sehen, was gegeben ist und was nicht.
Da die Höhe der unteren Sanduhrhälfte angegeben ist, können wir bestimmen, indem wir die Höhe des oberen Kegelstumpfs berechnen.
ist wiederrum gegeben, aber wir müssen noch ein wenig rechnen, um zu bestimmen.
Bestimmung von k
Aus der Angabe kannst du rauslesen, dass und .
Durch diese Angaben lässt sich ein rechtwinkliges Dreieck zeichnen.
Die Länge ist angegeben. Um die untere Seitenlänge des Dreiecks zu bestimmen und ist, ist die Seitenlänge .
Mit dem Tangens kannst du dann bestimmen:
Das Schlimmste ist nun geschafft!
Berechnung von
Jetzt kannst du die Formel von oben nutzen, um zu bestimmen.
und kennst du mittlerweile. So ergibt sich für :
Berechnung des Zylindervolumens
Jetzt, wo du bestimmt hast, kannst du das Zylindervolumen endlich berechnen. Setze dafür in die Formel von oben ein:
Bestimmung des Volumens des Sands in der Sanduhr
Nun kannst du die Volumen des Sands im Zylinder und der Halbkugel addieren und bekommst das Volumen des Sands in der Sanduhr:
(auf Ganze gerundet)
Bestimmung der Zeit bis der Sand durchläuft
Pro Minute laufen Sand von einer Seite der Sanduhr auf die andere. Somit braucht es bis der Sand durchgelaufen ist.