Bestimme alle Hoch-, Tief- bzw. Terrassenpunkte des Graphen von
.
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Zur Bestimmung der Hoch-, Tief- und Terrassenpunkte des Graphen einer Funktion benötigst du die Ableitungen von .
Ableitungen
Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle gibt die Steigung des Graphen der Funktion an dieser Stelle an.
Erste Ableitung
Leite mithilfe der Ableitungsregeln a.
Zweite Ableitung
Nutze die erste Ableitung von als Ausgangspunkt, um die zweite Ableitung von zu bestimmen.
Extrema bestimmmen
Die Extrema der Funktion sind die Nullstellen der ersten Ableitung. Setze also gleich 0.
Die erste Nullstelle kann nun abgelesen werden, da als alleinstehender Faktor ausgeklammert werden konnte.
Löse nun die Gleichung .
Mitternachtsformel anwenden.
Unter der Wurzel zusammenfassen.
Wurzel ziehen.
1. Extremum
-Wert des ersten gefundenen Extrempunkts in die Ausgangsfunktion einsetzen.
Untersuche, ob der erste Extrempunkt Hoch-, Tief- oder Terrassenpunkt ist.
-Wert des ersten gefundenen Extrempunkts in einsetzen.
Da hat an der Stelle einen Hochpunkt .
2. Extremum
Setze den -Wert der zweiten gefundenen Extremstelle in die Ausgangsfunktion ein.
Untersuche, ob der zweite Extrempunkt ein Hoch-, Tief- oder Terrassenpunkt ist.
Setze den -Wert des zweiten gefundenen Extrempunkts in ein.
Da hat an der Stelle einen Tiefpunkt.
3. Extremum
Setze den -Wert der dritten gefundenen Extremstelle in die Ausgangsfunktion ein.
Untersuche, ob der dritte Extrempunkt ein Hoch-, Tief- oder Terrassenpunkt ist.
-Wert des dritten gefundenen Extrempunkts in einsetzen.
Da hat an der Stelle einen Tiefpunkt .
Der Graph von hat einen Tiefpunkt bei , einen Hochpukt bei und einen Tiefpunkt bei .