Führe bei den folgenden Funktionen eine Kurvendiskussion durch.
(Definitionsbereich, Nullstellen, Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs, Asymptoten, Extrempunkte)
Skizziere dann die Graphen.
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Hier musst du eine Kurvendiskussion einer gebrochen-rationalen Funktion durchführen.
Definitionsbereich bestimmen
Bestimme zunächst den Definitionsbereich.
Betrachte für den Definitionsbereich die Nullstellen des Nenners.
Die Nullstellen von sind also und . Daher ist der Defintionbereich von :
.
Nullstellen
Bestimme die Nullstellen der Funktion.
Betrachte für die Nullstellen von die Nullstellen des Zählers.
Es gibt nur eine Nullstelle bei .
Grenzwertbetrachtung
Betrachte den Grenzwert an den Rändern des Definitionsbereichs (Intervallgrenzen, Lücken, im Unendlichen).
Diese Grenzwerte geben dir eine waagerechte Asymptote bei und senkrechte Asymptoten bei und .
Extrempunkte
Bestimme jetzt die Extrempunkte. Leite dafür die Funktion mit der Quotientenregel ab und setze sie gleich null.
Setze die Ergebnisse in die Funktion ein, um die ganzen Koordinaten zu erhalten.
Skizze
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Hier musst du eine Kurvendiskussion einer gebrochen-rationalen Funktion durchführen.
Bestimmung des Definitionsbereichs D
Bestimme den Definitionsbereich. Der vorgelegte Funktionsterm ist ein Quotient. Daher kann der Nenner nicht Null werden. Da aber
Bestimmung der Nullstellen
Um die Nullstellen zu bestimmen, musst du überlegen, wann der Zähler des Quotienten Null ist.
den Wert Null annehmen. Also:
Quadratische Gleichungen kann man mit Hilfe der quadratischen Ergänzung lösen:
Da Quadrate nie negativ sein können, hat keine Nullstellen. Und die Definitionslücke ist eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.
Da der Zähler nie negativ wird, entscheidet nur der Nenner
über das Vorzeichen von .
Links von x=1 ist und rechts von x=1 ist .
Also und
Bestimmung der Asymptote
Da der Zählergrad, nämlich 2, größer als der Nennergrad, nämlich 1, ist, liegt eine schiefe Asymptote vor. Die asymtote wird durch Polynomdivision errechnet. Damit diese Polynomdivision "einfacher" klammere ich den Faktor aus.
Somit
Somit gilt für die Asymtote und man schreibt den Term für g(x) in der Form:
Um die Schnittpunkte mit der Asymtote zu berechnen, setzt man g(x)=a(x).
Somit gibt es keinen Schnittpunkt mit der Asymptote.
Extrema
Zur Ermittlung der Extrema berechnet man die 1. Ableitung und sucht deren Nullstellen.
Graphisch ergibt sich für die vorzeichengleiche Funktion für eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen und
Aus dem Graphen liest man ab: links von verläuft z oberhalb der x-Achse
und zwischen und verläuft z unterhalb der x- Achse
und rechts von verläuft z oberhalb der x-Achse
Somit gilt:
- wächst
- fällt
- wächst
Also hat man ein Maximum bei und ein Minimum