Die quadratische Ergänzung ist eine Technik, um einen quadratischen Term umzuformen.
Man geht aus von der Form und landet am Ende der Umformung bei der Scheitelform .
Die quadratische Ergänzung wird verwendet, um den Scheitelpunkt einer Parabel zu finden oder ihre Nullstellen zu bestimmen. Sie kann auch benutzt werden, um quadratische Gleichungen zu lösen.
Vorgehensweise am Beispiel
Quadratische Ergänzung des Terms
Vorgehen | Term |
|---|---|
1) Sortieren Sortiere den Term absteigend nach den Potenzen von . Konstanten Hier: nach vorne bringen | |
2) Ausklammern Den Koeffizienten des quadratischen Terms bei Termen, die ein enthalten, ausklammern. Faktorisieren | |
3) Ergänzen Den Term in der Klammer kannst du nun so umformen, dass er wie ein Teil einer binomischen Formel aussieht. Teile dafür den Vorfaktor von durch , und schreibe dein Ergebnis als zweimal diese Zahl. Hier: Nun musst du nur noch eine Konstante ergänzen, um eine binomische Formel zu erhalten. Um den Wert des Terms nicht zu verändern, musst du diese Konstante aber auch wieder abziehen. Er dient dir nur zum Umformen. Hier: ergänzen mit und ziehe wieder ab. | |
4) Zusammenfassen Mithilfe der Binomischen Formeln kannst du nun Teile des Terms zusammenfassen. Hier: Der Term ist eine aufgelöste erste binomische Formel. | |
5) Klammer ausmultiplizieren Multipliziere nun die Klammer aus, welche keine binomische Formel enthält. Hier: In der Klammer stehen die beiden Summanden und | |
6) Rechte Summe ausrechnen Berechne den Wert der Konstanten. Hier: Das Ergebnis ist die sog. Scheitelform |
Veranschaulichung der Vorgehensweise durch Applet
Beachte: GeoGebra rundet alle Werte auf 2 Nachkommastellen. Es können daher in der Anzeige Ungenauigkeiten entstehen, das Applet selbst rechnet aber mit den genauen Werten weiter.
Damit die Funktionsterme korrekt angezeigt werden, bitte nur Zahlen mit höchstens 3 Ziffern angeben, sonst gibt es Überlappungen.
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Zum Üben
Wozu dient die quadratische Ergänzung?
Scheitelpunkt bestimmen
Mithilfe der Scheitelform kann man direkt den Scheitelpunkt berechnen.
Ist die Scheitelform , so liegt der Scheitelpunkt bei .
Lösungen einer quadratischen Gleichung
Eine normale quadratische Gleichung der Form kann man nicht ohne Weiteres lösen, da die gesuchte Variable x sowohl im Quadrat, als auch linear vorkommt. In der Scheitelform ist dieses Problem behoben. Die Variable steht nur noch einmal in der binomischen Formel.
Das ermöglicht ein Lösungsverfahren mit Wurzelziehen.
Beispiel:
Umformung: +12
Umformung: :3
Umformung: \sqrt{\ }
Umformung: +1
Eingebetteter Serlo-Inhalt
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