Gib für folgende Funktionen die maximale Definitionsmenge an .
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Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Setze den Nenner gleich 0.
Umformung: +5
Umformung: :2
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Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Setze den Nenner gleich 0.
ausklammern.
Ein Produkt wird , wenn einer der Faktoren ist.
Setze die Klammer gleich .
Umformung: +2
Die Nullstellen des Nenners müssen aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden.
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Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Definitionslücke(n) berechnen, indem man ausrechnet, für welche(s) der Nenner den Wert ergibt.
Mitternachtsformel verwenden.
Die Betrachtung der Diskriminanten ergibt
. Also besitzt der Nenner genau eine Nullstelle.
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Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Nenner gleich 0 setzen.
Umformung: +1
Umformung: \cdot100
Umformung: \sqrt{ }
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Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Bedingung "Radikand größer gleich 0" ausnutzen.
Umformung: -4
Alle Terme mit auf eine Seite, alle ohne auf die andere.
Umformung: :7
alleine stehen lassen.
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Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Prüfen, wann der Radikand 0 ist.
Nullstellenbestimmung
Die Nullstellen einer Funktion sind die -Werte, für die wird.
mit dem Satz von Vieta:
Faktorenzerlegung (mit dem Satz von Vieta).
Nullstellen ablesen.
mit der Mitternachtsformel:
Mitternachtsformel anwenden.
Abschnitte bestimmen, in denen der Radikand kleiner als 0 ist
Da der Graph der Funktion eine nach oben geöffnete Parabel ist (Koeffizient der höchsten -Potenz ist positiv), nimmt im Intervall negative Werte an.
Folglich ist auf nicht definiert.
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Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Umformung: :17
Prüfe, wann kleiner als Null wird.
Das Intervall muss man also ausschließen. Den Rest der Funktion, also , muss man nicht überprüfen, da er ein Polynom ist.
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Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Prüfe, wann der Radikand kleiner als Null wird.
Das Polynom kann man nach dem Satz von Vieta in das angegebene Produkt umwandeln.
Eine andere Möglichkeit ist, die Nullstellen mit Hilfe der Mitternachtsformel zu ermitteln und dann das Polynom als Produkt der zwei Klammern zu schreiben.
Lösen mit der Mitternachtsformel
Wir lösen die Gleichung mit der Mitternachtsformel:
einsetzen
Die Lösungen sind und . Jetzt kann der Term auf der linken Seite in Faktoren geschrieben werden:
Fallunterscheidung:
1.
Man betrachtet zuerst die Möglichkeit, dass der erste Faktor negativ und der zweite Faktor positiv ist.
Der zweite Fall ist die Umkehrung: wird positiv, während negativ wird.
2.
Da nicht größer als und gleichzeitig kleiner als sein kann, gilt nur der erste Fall. Das heißt: ist kleiner als Null genau dann, wenn zwischen und liegt. Dieses Intervall muss man also ausschließen.
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Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Prüfe, wann das Argument kleiner oder gleich Null wird.
Das Intervall muss man also aus dem Definitionsbereich ausschließen.
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Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Vorüberlegung
Die Funktion ist genau für diejenigen definiert, für die positiv ist.
Nullstellen von
Die Betrachtung der Diskriminante von ergibt hier, dass genau eine Nullstelle besitzt.
Da der Graph der Funktion eine nach unten geöffnete Parabel (negativer Koeffizient vor höchster x-Potenz) mit Scheitel auf der x-Achse ist, nimmt keine positiven Werte an.
Interpretation
Da keine positiven Werte annnimmt, gilt nach der Vorüberlegung:
,also die leere Menge.
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Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Prüfe, wann kleiner oder gleich Null wird.
Die erste Fallunterscheidung wird gemacht, um die zwei Fälle zu unterscheiden, bei denen das Produkt kleiner oder gleich Null wird.
- Erster Faktor kleinergleich Null, zweiter Faktor größergleich Null.
Fallunterscheidung:
Hier taucht ein Betrag auf, dessen Auflösung in der zweiten Fallunterscheidung passiert:
Dass kleinergleich Null und gleichzeitig größergleich ist, ist unmöglich.
Es bleibt, dass das Produkt kleiner oder gleich Null wird, wenn kleiner oder gleich ist.
- Erster Faktor größergleich Null, zweiter Faktor kleinergleich Null.
Auch hier taucht ein Betrag auf, dessen Auflösung in der zweiten Fallunterscheidung passiert:
Das Produkt wird kleinergleich Null, wenn zwischen und liegt und gleichzeitig größergleich Null ist.
Zusammenfassend
Man muss ausschließen:
Somit ergibt sich folgender Definitionsbereich:
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Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Man verwendet:
Der Nenner (also ) darf nicht werden.
Hier setzt man an.
gilt genau für alle
Also gilt:
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Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Der Nenner () darf nicht werden.
Der gewöhnliche Cosinus wird genau dann , wenn gilt. Daher gilt genau dann, wenn gilt.
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Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Der Nenner () darf nicht werden.
Nun überlegt man sich, für welche der Nenner wird.
Also gilt:
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Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Vorüberlegung
Die Funktion ist genau für diejenigen definiert, für die der Radikand positiv ist.
Nullstellen von
Mitternachtsformel
Für die Diskriminante gilt: 1 Lösung
Interpretation
Da der Graph der Funktion unter der Wurzel eine nach oben geöffnete Parabel (positives Vorzeichen vor der höchsten Potenz ) ist, deren Scheitel auf der x-Achse liegt, ist sie für alle positiv.Nach der Vorüberlegung gilt damit für den Definitionsbereich von :
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Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Vorüberlegung
Die Funktion ist genau für diejenigen definiert, für die (Definitionsbereich des Logarithmus) und gilt.
Nullstellen von
zwei Nullstellen und
Zunächst faktorisiert man .
Daraufhin kann man die Nullstellen ablesen.
Da der Graph der Funktion eine nach oben geöffnete Parabel (positives Vorzeichen vor der höchsten Potenz) ist, nimmt für alle positive Werte an.
Nullstellen von
Die Nullstelle der linearen Funktion lässt sich durch einfaches Auflösen nach bestimmen.
Da der Graph der Funktion eine Gerade mit positiver Steigung ist, nimmt für alle positive Werte an.
Interpretation
Da die Bedingungen an und aus der Vorüberlegung genau für alle UND erfüllt sind, gilt:
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Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Der Nenner () darf nicht werden.
Nun überlegt man sich, für welche der Nenner wird.
Also gilt:
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Der Definitionsbereich ist die Menge von Zahlen, die man in eine Funktion einsetzen darf.
Der Nenner () darf nicht werden.
Du kannst die Gleichung umformen. Bringe durch Addition auf die andere Seite.
Nun überlegst du dir, für welche Werte der Sinus wird.
Da du nach den -Werten suchst, musst du noch mit addieren.
Also gilt: