Bestimme die Schnittmenge der beiden in Normalenform gegebenen Ebenen.
und
Lösung anzeigen
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle beide Normalenformen der Ebenen und in je eine Koordinatenform um.
2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.
3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
1) Normalenform der Ebene in eine Koordinatenform umwandeln.
Dazu wird für jede Ebene das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor und dem Differenzvektor gebildet:
Entsprechend für
Somit ergibt sich das folgende unterbestimmte Gleichungssystem mit drei Unbekannten und zwei Gleichungen.
2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.
3) Durch die erhaltene Gleichung erkennst Du welche Lösungsmöglichkeit für das lineare Gleichungssystem eingetreten ist.
Dies ist eine wahre Aussage unabhängig von den Werten der Parameter. Das bedeutet, dass die Ebenen identisch sind.
Antwort: Die beiden Ebenen und sind identisch.
zusätzliche graphische Darstellung
und
Lösung anzeigen
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle beide Normalenformen der Ebenen und in je eine Koordinatenform um.
2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.
3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
1) Normalenform der Ebene in eine Koordinatenform umwandeln.
Dazu wird für jede Ebene das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor und dem Differenzvektor gebildet:
Entsprechend für
Somit ergibt sich das folgende unterbestimmte Gleichungssystem mit drei Unbekannten und zwei Gleichungen.
2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.
3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
Du hast die Gleichung erhalten. Dies ist eine falsche Aussage, d.h. es gibt keine gemeinsame Schnittmenge zwischen den beiden Ebenen. Die Ebenen sind parallel zueinander.
Antwort: Die beiden Ebenen und sind parallel zueinander.
zusätzliche graphische Darstellung
und
Lösung anzeigen
Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle beide Normalenformen der Ebenen und in je eine Koordinatenform um.
2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.
3) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
1) Normalenform der Ebene in eine Koordinatenform umwandeln.
Dazu wird für jede Ebene das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor und dem Differenzvektor gebildet:
Entsprechend für
Somit ergibt sich das folgende unterbestimmte Gleichungssystem mit drei Unbekannten und zwei Gleichungen.
2) Durch geeignete Rechenschritte wird mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus beiden Gleichungen eliminiert.
3) Durch die erhaltene Gleichung erkennst Du welche Lösungsmöglichkeit für das lineare Gleichungssystem eingetreten ist.
Setze nun Gleichung z. B. in Gleichung ein:
und löse nach auf:
Du hast nun und in Abhängigkeit von dargestellt. Für kannst Du z. B. den Parameter setzen. Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
Das ist die Gleichung der Schnittgeraden zwischen den beiden Ebenen.
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen und hat die Gleichung:
zusätzliche graphische Darstellung
