Es ist mithilfe der Matrixdarstellung möglich, zu bestimmen, wie viele Lösungen ein lineares Gleichungssystem hat, ohne es vorher zu lösen.
Lösungsvielfalt
Es gibt drei Möglichkeiten für die Anzahl an Lösungen eines Gleichungssystems:
- Keine Lösung
- Unendlich viele Lösungen
- Genau eine Lösung.
Dies kann man sich an einem Beispiel leicht verdeutlichen, indem man das Gleichungssystem grafisch darstellt:
Geometrische Deutung am Beispiel: 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten
Die Lösungesmenge jeder einzelnen Gleichung ist eine Gerade.
Diese beiden Geraden,
- sind echt parallel zueinander, haben also keinen gemeinsamen Punkt keine Lösung,
- liegen aufeinander (sind also gleich) unendlich viele Lösungen,
- oder schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt eine Lösung
Beispiele für die drei Möglichkeiten
Parallele Geraden
Identische Geraden
Sich schneidende Geraden
Lösbarkeit mit der Matrixdarstellung bestimmen
Im Folgenden betrachten wir quadratische Matrizen. Sie beschreiben lineare Gleichungssysteme, mit genau so vielen Gleichungen wie Variablen.
Vorgehensweise
Die Vorgehensweise wird hier an einem Gleichungssystem mit zwei Gleichungen beschrieben. Sie ist jedoch auch für Gleichungssysteme mit drei und mehr Gleichungen gültig.
1. Darstellung als erweiterte Koeffizientenmatrix
2. Auf Zeilenstufenform bringen
Die erweiterte Koeffizientenmatrix auf Zeilenstufenform bringen heißt, dass der Koeffizient eliminiert wird, zum Beispiel mithilfe des Gaußverfahrens.
Um zu kennzeichnen, dass sich die Werte in der zweiten Zeile verändern, wenn die Matrix umformt wird, werden die neuen Koeffizienten mit Schlangen gekennzeichnet.
Die letzte Zeile der umgeformten Matrix gibt Auskunft über die Lösbarkeit des Gleichungssystems und über die gegenseitige Lage der beiden Geraden
1. Beispiel für ein unlösbares LGS (parallele Geraden)
Gegeben ist das LGS:
Addiere zur 2. Zeile das Doppelte der 1. Zeile.
Die letzte Zeile bedeutet ausgeschrieben:
Diese Gleichung besagt, dass das LGS unlösbar ist, denn diese Gleichung ist für kein Paar erfüllt.
Grafische Lösung zu Beispiel 1
Löst man die beiden Gleichungen des LGS nach auf, so erhält man Funktionsgleichungen für lineare Funktionen. Der Graf einer linearen Funktion ist eine Gerade.
Die beiden Geraden haben die gleiche Steigung , aber unterschiedliche -Achsenschnittpunkte. Geometrisch bedeutet das, die Geraden verlaufen parallel zueinander.
2. Beispiel für ein LGS mit unendlich vielen Lösungen (identische Geraden)
Gegeben ist das LGS:
Addiere zur 2. Zeile das Doppelte der 1. Zeile.
Die letzte Zeile lautet ausgeschrieben:
Diese Gleichung besagt, dass das LGS unendlich viele Lösungen hat, denn diese Gleichung ist für alle Paare erfüllt.
Grafische Lösung zu Beispiel 2
Löst man die beiden Gleichungen des LGS nach auf, so erhält man Funktionsgleichungen für lineare Funktionen. Der Graf einer linearen Funktion ist eine Gerade.
Die beiden Geraden haben die gleiche Steigung . Auch die -Achsenschnittpunkte sind gleich. Geometrisch bedeutet das, die Geraden sind identisch, d.h. sie liegen aufeinander.
3. Beispiel für ein LGS mit genau einer Lösung (sich schneidende Geraden)
Gegeben ist das LGS:
Subtrahierte von der 2. Zeile das Doppelte der 1. Zeile.
Die letzte Zeile lautet ausgeschrieben:
Setze in eine der beiden Gleichungen ein:
Das LGS hat die Lösung
Grafische Lösung zu Beispiel 3
Löst man die beiden Gleichungen des LGS nach auf, so erhält man Funktionsgleichungen für lineare Funktionen. Der Graf einer linearen Funktion ist eine Gerade.
Die beiden Geraden haben unterschiedliche Steigungen und . Die -Achsenschnittpunkte sind auch verschieden. Geometrisch bedeutet das, die Geraden schneiden sich im Punkt .
Im folgenden Spoiler ist die Vorgehensweise für ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen beschrieben.
Gleichungssystem mit drei Gleichungen
Vorgehensweise
1. Darstellung als erweiterte Koeffizientenmatrix
2. Auf Zeilenstufenform bringen
Die erweiterte Koeffizientenmatrix auf Zeilenstufenform bringen heißt, dass die Koeffizienten eliminiert werden, zum Beispiel mithilfe des Gaußverfahrens.
Anwendung des Gaußverfahrens auf 3 erweiterte Koeffizientenmatrizen
Beispiel 1
Beispiel 2
Beispiel 3
3. Rang bestimmen
Der Rang einer Matrix ist die Anzahl der Zeilen in der Zeilenstufenform der Matrix, die wenigstens einen Eintrag ungleich Null haben. Man schreibt für den Rang der Matrix .
Beispiele für den Rang einer Matrix
Zeilenstufenform der Matrix :
In jeder Zeile steht wenigstens ein Eintrag ungleich Null. Man sagt auch: " hat vollen Rang."
Zeilenstufenform der Matrix :
In einer Zeile sind alle Einträge Null.
In sind scheinbar zwei Zeilen ungleich Null, aber ist nicht in Zeilenstufenform; man kann so umformen:
Bestimme den Rang der Matrix und den Rang der erweiterten Matrix .
4. Ränge vergleichen
bezeichnet nun die Anzahl der Variablen bzw. die Anzahl der Spalten der Matrix. Es gibt nun drei Möglichkeiten:
1.
Beispiel 1
Hier ist:
Es gibt genau eine Lösung.
2.
Beispiel 2
Hier ist:
Es gibt unendlich viele Lösungen.
3.
Beispiel 3
Hier ist:
Es gibt keine Lösung.